Метод последовательных сравнений

Суммирование рангов и оценок (баллов) различных объектов и факторов представляется нам естественным, поскольку этот принцип часто используется при решении практических задач и значительно упрощает выбор наиболее предпочтительного решения. В последнее время эти методы широко применяются при измерении уровня качества продукции, оценке деятельности научных подразделений и организаций и т.п. Они имеют ряд преимуществ, основное из которых заключается в возможности сопоставления и «соизмерения» качественно различных факторов. Общим дефектом показателей, получаемых на основе суммирования оценок, является то, что недостаток качества по одному из факторов можно компенсировать за счет другого, получая один и тот же результат при различной значимости факторов. Поэтому для повышения надежности подобных оценок весьма важное значение имеет выявление связей и установление зависимостей (по возможности количественных) между всеми значимыми факторами Как было показано ранее, аддитивность оценок присуща шкале отношений и при некоторых условиях – шкале интервалов. Поэтому суммирование баллов, расчет результирующих рангов и оценок должны быть основаны не только на их упорядочении, но и еще на некоторых логических допущениях о зависимостях, используя которые можно обоснованно приписывать качественно различным факторам веса в одинаковых единицах по общей шале измерения.

Основные из этих допущений заключаются в следующем:

· Каждому результату (событию, фактору) соответствует действительное неотрицательное число V_j, рассматриваемое как оценка истинной значимости (ценности) O_j ;

· Если результат O_j более важен, чем O_k, то V_j> V_k, и если O_j равноценен O_k, то V_j = V_k ;

· Если оценки V_j и V_k соответствуют результатам O_j и O_k, то оценка V_j + V_k соответствует общему результату O_j и O_k .

Последнее допущение и является допущенем об аддитивности оценок. Это допущение выполняется, когда результаты дискретны, непротиворечивы и взаимно независимы.

Процедура последовательных сравнений состоит в следующем.

Эксперту предоставляется перечень факторов, которые необходимо оценить по их относительной важности и ранжировать. Наиболее важному фактору придается оценка v₁ = 1, а остальным факторам – оценки v_i , между 0 и 1 в порядке их относительной важности.

Затем эксперт устанавливает, является ли фактор с оценкой 1 более важным, чем комбинация остальных факторов. Если это так, то он увеличивает оценку v₁, чтобы она была больше, чем сумма всех остальных, т.е.

Если нет, то он корректирует оценку v₁ (если необходимо) так, чтобы она была меньше суммы всех остальных, т.е.

Далее определяется, является ли второй наиболее важный фактор с оценкой v₂ более важным, чем все остальные факторы, получившие более низкие оценки; повторяется та же процедура, что и для v₁. Процедура последовательных сравнений продолжается вплоть до (n-1) -го фактора.

Таким образом, используемая здесь процедура состоит и в систематической проверке оценок на базе их последовательного сравнения.

Рассмотрим условный пример. Представим, что возможны 4 результата, которые необходимо «взвесить» по их значимости. Процедура взвешивания будет состоять в следующем.

· Упорядочим 4 результата по их значимости. Пусть О₁ – наиболее важный результат, О₂ – следующий по важности, далее идут О₃ и О₄.

· Присвоим вес 1 наиболее важному результату и некоторые другие веса – остальным. Так, например, эксперт может приписать результатам О₁,О₂ , О₃ и О₄ веса 1,00, 0,8; 0,5; 0,3 соответственно.

· Обозначим эти величины символами v₁, v₂, v₃, v₄ ; их следует рассматривать как первые оценки «истинных» значений О₁,О₂ , О₃ и О₄.

· Проведем сравнение О₁ с О₂ , О₃ и О₄ , т.е. выясним, что выберет эксперт, если ему предоставить возможность»получить» результат О₁ или сумму результатов О₂ , О₃ и О₄.

· Предположим, он утверждает, что О₁ предпочтительнее этой суммы. Тогда значение оценки v₁ следует изменить так, чтобы выполнялось неравенство v₁> v₂+ v₃+ v₄. Например, можно принять, что v₁=2,0; v₂=0,8; v₃=0,5; v₄=0,3. Первоначальные значения оценок мы оставили без изменения.

· Сраним далее О₂ с О₃ и О₄. Предположим, что суммарный результат О₃ и О₄ предпочтителен. Тогда требуется дальнейшее изменение первоначальных оценок.

· Например, можно принять что v₁=2,0; v₂=0,7; v₃=0,5; v₄=0,3. Если эти оценки не противоречат мнениям экспертов, можно их нормировать, разделив каждую з них на сумму всех оценок, которая в ланном случае равна 3,5.

· Обозначив нормированные оценки символами v9_j, имеем:

v9₁ = 2,0/3,5 =0,57

v9₂ = 0,7/3,5 =0,2

v9₃ = 0,5/3,5 = 0,14

v9₄ = 0,3/3,5 =0,09

Итого 1,00

Используя пример, сформулируем общую процедуру метода оценки весов на основе последовательных сравнений так.

1. Упорядочить результаты в соответствии с их важностью с точки зрения эксперта.

Пусть О₁ представляет наиболее важный результат, О₂ – следующий по степени важности и т.д., О_m наименее важный.

2.

Описанный метод становится громоздким, когда число результатов = и более 7. В этом случае может быть использована следующая процедура.

1. Упорядочить все множество, учитывая предпочтения эксперта и не ставя им в соответствие числовых значений.

2. Выбрать случайным образом любой результат из множества, допустим О_q.

3. Разбить случайным образом оставшиеся результаты на подмножества так, чтобы каждое их них содержало не более 6 результатов.

4. Включить в каждое из подмножеств результат, выбранный в шаге 1 ?

5. Применить процедуру, описанную выше, к каждому подмножеству результатов в отдельности, приписав предварительно некоторое число v_s результату О_q (например, 1, 10 или 100). При этом, корректируя значения оценок остальных результатов v_j, значение v_s оставляем без изменений.

6. Сравнить оценки v_j с предпочтениями, полученными в шаге 1. Если в итоге получены непротиворечивые результаты, следует пронормировать оценки. Об обнаруженных противоречиях нужно сообщать эксперту, который в случае необходимости меняет значения оценок.

Например, если имеется 17 результатов, их можно разбить на три подмножества примерно одинаковой величины, а затем производить сравнение.

· Случайным образом выбирают один результат, например О₄.

· Затем разбивают опять-таки случайным образом оставшиеся 16 результатов на три подмножества, из которых два содержат 5 результатов, а одно 6.

· Образуют три подмножества, каждое из которых должно содержать выбранный результат. Например, это можно выполнить так:

Далее выполняют описанную выше процедуру последовательных сравнений к каждому подмножеству результатов в отдельности.

· Наконец, сравнивают полученные ненормированные оценки с оценками, полученными при первоначальном упорядочении, и выясняют, какое из предпочтений является более обоснованным.

· В случае необходимости вносят коррективы в первоначальные оценки.

Надежность полученных таким образом оценок можно проверить, образуя новые подмножества и используя другую базисную оценку.

ВыводыОсновой описанного подхода является введение в каждое подмножество результатов некоторой стандартной меры или базиса сравнения. Надежность полученных оценок можно проверить, образуя новые подмножества и используя другие базисные оценки.

Таким образом, применение метода последовательных сравнений основано на предположении о том, что если задан некоторый интервал действительного переменного, скажем, от 0 до 1, то эксперт, основываясь на имеющейся у него информации, может установить предварительные оценки для каждого события, а затем уточнить их на основе сравнения с помощью определенной логической процедуры.

Поскольку множества, содержащие 7 и более элементов, трудно упорядочить с помощью метода последовательных сравнений (процедура становится громоздкой), целесообразно разбивать такие множества на несколько подмножеств, каждое из которых включает в себя не более 6 результатов.

Критерий хи-квадрат Пирсона.Хи-квадрат Пирсона - это наиболее простой критерий проверки значимости связи между двумя категоризованными переменными. Критерий Пирсона основывается на том, что в двувходовой таблице ожидаемые частоты при гипотезе "между переменными нет зависимости" можно вычислить непосредственно. Представьте, что 20 мужчин и 20 женщин опрошены относительно выбора газированной воды (марка A или марка B). Если между предпочтением и полом нет связи, то естественно ожидать равного выбора марки A и марки B для каждого пола.

Значение статистики хи-квадрат и ее уровень значимости зависит от общего числа наблюдений и количества ячеек в таблице. В соответствии с принципами, обсуждаемыми в разделе Элементарные понятия статистики, относительно малые отклонения наблюдаемых частот от ожидаемых будет доказывать значимость, если число наблюдений велико.

Имеется только одно существенное ограничение использования критерия хи-квадрат (кроме очевидного предположения о случайном выборе наблюдений), которое состоит в том, что ожидаемые частоты не должны быть очень малы. Это связано с тем, что критерий хи-квадрат по своей природе проверяет вероятности в каждой ячейке; и если ожидаемые частоты в ячейках, становятся, маленькими, например, меньше 5, то эти вероятности нельзя оценить с достаточной точностью с помощью имеющихся частот. Дальнейшие обсуждения см. в работах Everitt (1977), Hays (1988) или Kendall and Stuart (1979).

Критерий хи-квадрат (метод максимального правдоподобия).Максимум правдоподобия хи-квадрат предназначен для проверки той же самой гипотезы относительно связей в таблицах сопряженности, что и критерий хи-квадрат Пирсона. Однако его вычисление основано на методе максимального правдоподобия. На практике статистика МП хи-квадрат очень близка по величине к обычной статистике Пирсона хи-квадрат. Подробнее об этой статистике можно прочитать в работах Bishop, Fienberg, and Holland (1975) или Fienberg (1977). В разделе Логлинейный анализ эта статистика обсуждается подробнее.

Поправка Йетса.Аппроксимация статистики хи-квадрат для таблиц 2x2 с малыми числом наблюдений в ячейках может быть улучшена уменьшением абсолютного значения разностей между ожидаемыми и наблюдаемыми частотами на величину 0.5 перед возведением в квадрат (так называемая поправка Йетса). Поправка Йетса, делающая оценку более умеренной, обычно применяется в тех случаях, когда таблицы содержат только малые частоты, например, когда некоторые ожидаемые частоты становятся меньше 10 (дальнейшее обсуждение см. в Conover, 1974; Everitt, 1977; Hays, 1988; Kendall and Stuart, 1979 и Mantel, 1974).

Точный критерий Фишера.Этот критерий применим только для таблиц 2x2. Критерий основан на следующем рассуждении. Даны маргинальные частоты в таблице, предположим, что обе табулированные переменные независимы. Зададимся вопросом: какова вероятность получения наблюдаемых в таблице частот, исходя из заданных маргинальных? Оказывается, эта вероятность вычисляется точно подсчетом всех таблиц, которые можно построить, исходя из маргинальных. Таким образом, критерий Фишера вычисляет точную вероятность появления наблюдаемых частот при нулевой гипотезе (отсутствие связи между табулированными переменными). В таблице результатов приводятся как односторонние, так и двусторонние уровни.

Хи-квадрат Макнемара.Этот критерий применяется, когда частоты в таблице 2x2 представляют зависимые выборки. Например, наблюдения одних и тех же индивидуумов до и после эксперимента. В частности, вы можете подсчитывать число студентов, имеющих минимальные успехи по математике в начале и в конце семестра или предпочтение одних и тех же респондентов до и после рекламы. Вычисляются два значения хи-квадрат: A/D и B/C. A/D хи-квадрат проверяет гипотезу о том, что частоты в ячейках A и D (верхняя левая, нижняя правая) одинаковы. B/C хи-квадрат проверяет гипотезу о равенстве частот в ячейках B и C (верхняя правая, нижняя левая).

R Спирмена.Статистику R Спирмена можно интерпретировать так же, как и корреляцию Пирсона (r Пирсона) в терминах объясненной доли дисперсии (имея, однако, в виду, что статистика Спирмена вычислена по рангам). Предполагается, что переменные измерены как минимум в порядковой шкале. Всестороннее обсуждение ранговой корреляции Спирмена, ее мощности и эффективности можно найти, например, в книгах Gibbons (1985), Hays (1981), McNemar (1969), Siegel (1956), Siegel and Castellan (1988), Kendall (1948), Olds (1949) и Hotelling and Pabst (1936).

Тау Кендалла.Статистика тау Кендалла эквивалентна R Спирмена при выполнении некоторых основных предположений. Также эквивалентны их мощности. Однако обычно значения R Спирмена и тау Кендалла различны, потому что они отличаются как своей внутренней логикой, так и способом вычисления. В работе Siegel and Castellan (1988) авторы выразили соотношение между этими двумя статистиками следующим неравенством:

-1 < = 3 * Тау Кендалла - 2 * R Спирмена < = 1

Более важно то, что статистики Кендалла тау и Спирмена R имеют различную интерпретацию: в то время как статистика R Спирмена может рассматриваться как прямой аналог статистики r Пирсона, вычисленный по рангам, статистика Кендалла тау скорее основана на вероятности. Более точно, проверяется, что имеется различие между вероятностью того, что наблюдаемые данные расположены в том же самом порядке для двух величин и вероятностью того, что они расположены в другом порядке. Kendall (1948, 1975), Everitt (1977), и Siegel and Castellan (1988) очень подробно обсуждают тау Кендалла. Обычно вычисляется два варианта статистики тау Кендалла: tau_b и tau_c. Эти меры различаются только способом обработки совпадающих рангов. В большинстве случаев их значения довольно похожи. Если возникают различия, то, по-видимому, самый безопасный способ - рассматривать наименьшее из двух значений.

Данные статистических обследований являются основой для принятия одного из нескольких альтернативных решений о свойствах и параметрах генеральной совокупности. При этом любое суждение о генеральной совокупности, сделанное на основе выборочных наблюдений, не может рассматриваться как достоверное утверждение, а лишь как предположительное в силу неполноты информации на основе выборки.

Проверка статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, не противоречат ли данные выборочных наблюдений выдвинутой гипотезе. С этой целью производится количественная оценка степени достоверности предлагаемой гипотезы, которая осуществляется с помощью специально построенного статистического критерия.

Для статистической проверки гипотез о теоретическом (модельном) виде закона распределения вероятностей исследуемой случайной величины .используют критерии согласия. На основании оценки закона распределения в форме ряда распределения, статистической функции распределения, полигона, гистограммы или иных соображений, порой априорного характера, делаем предположение о модельном виде закона распределения (выдвигаем нулевую гипотезу).

Наша задача на основании n независимых наблюдений (выборки) случайной величины проверить справедливость гипотезы Н0 или отвергнуть ее. Для проверки гипотезы выбираются (строятся) критические статистики, измеряющие расстояния между эмпирическим законом распределения и гипотетическим семейством.

По выборочным значениям из генеральной совокупности визуально оценить закон распределения данной совокупности, для этого: - построить интервальный вариационный ряд частот (относительных частот); - построить гистограмму плотности относительных частот; - построить кумулятивную функцию (статистическую функцию) распределения относительных частот; На основании полученных оценок выдвинуть и проверить гипотезу о характере распределения с помощью: - проверки нулевой гипотезы соответствия нормальному распределению (если есть основание) по коэффициентам асимметрии и

эксцесса; - критерия согласия Пирсона (.2).

Для одной из выборок с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу на согласие эмпирического распределения с равномерным распределением.