НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА

1. Факторный анализ, как и главные компоненты позволяет, сократить размерность признакового пространства. Оба метода являются эффективными способами исследовании взаимосвязей между переменными. Основное различие между этими методами заключается в том, что главные компоненты являются линейными функциями от наблюдаемых переменных, в то время как общие факторы не выражаются через комбинацию исходных признаков. Главные компоненты не объясняют корреляции между переменными. В случае некоррелированных данных главных компонент не существует. Факторный анализ представляет корреляционную структуру в терминах гипотетической (латентной) модели, в то время как анализ главных компонент сокращает размерность за счет использования нескольких линейных комбинаций исходных переменных. Таким образом факторный анализ ориентирован на задачи, несколько отличные от задач главных компонент.

2. В отличии от главных компонент факторный анализ (разложение матрицы K_x) нечувствителен к изменению шкал. Действительно, если умножаем каждую переменную x_i на , то условия на дисперсия не изменяется , наши факторные нагрузки будут иметь вид

, и вместо K_x будем иметь R_x, и , (7.8) . (7.9)

3. Факторное решение не единственно. Если В -ортогональная матрица (k k), то

X=AF+L

и разложение Х можно переписать

.

Но =I , поэтому заА взять АВ, а за F - и разложение K_x, примет прежний вид (7.10)

Последнее означает что имеется бесконечное число факторных нагрузок , удовлетворяющих исходным предпосылкам, структур (A,L²). Эту трудность можно преодолеть, если ввести на А ограничение.

Рассмотрим матричное уравнение (7.10) подробнее. В левой части уравнения с учетом симметрии число коэффициентов равно р(р+1)/2. В правой части р(k+1).

Если k+1>(р+1)/2, то однозначное решение факторной задачи невозможно. Будем нормализовать постоянные А,полагая , ,

что эквивалентно ,что

, (7.11) где J -диагональная ( ) матрица ,что накладывает еще ограничений .

В результате имеем

или (7.12) Если , (7.13)

то система уравнений остается неопределенной

Андерсен вывел другое соотношение единственности решения: при вычеркивании из А любой строки, оставшуюся часть матрицы можно было бы разделить на две подматрицы ранга k

. (7.14)

Это условие дает такие же результаты, что и предыдущее уравнение. Отсюда случаи:

p = 2 и k = 1;

p = 4 и k = 2

не допускают идентификации. Число независимых коэффициентов при заданном числе переменных p имаксимальном числе факторов k для положительного числа степеней свободы Максимально возможное число факторов, которое удается извлечь из данной корреляционной матрицы порядка p равно .