Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Дисперсия и средне-квадратичное отклонение дискретной случайной величины.




Читайте также:
  1. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  2. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  3. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  4. Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
  5. Билет №8. Закон распределения системы случайных величин. Функция и плотность двумерной случайной величины и их свойства.
  6. Величины.
  7. Вероятностная оценка случайной величины – наработки до второго отказа
  8. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
  9. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.
  10. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения.

Ответ: Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и заданы следующими рядами распределения:

Значения -0,2 -0,1 0,1 0,2
  Вероятности p(x) 0,25 0,25 0,25 0,25
           


Значения -50 -40 40 50
Вероятности p(x) 0,25 0,25 0,25 0,25

Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:

Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:

(43)

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x1, x2, ..., xn соответственно с вероятностями p1, p2, ..., pn. Очевидно, случайная величина принимает значения:

с теми же вероятностями p1, p2, ..., pn. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем:

(44)

Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению:

(45)

Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем:

Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим: Следовательно, Откуда окончательно находим:

(46)

Рассмотрим теперь свойства дисперсии. 1°. Дисперсия постоянной равна нулю. (Доказательство)

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(47)

(Доказательство)

3°. Если и - независимые случайные величины , то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(48)

(Доказательство)



Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

(49)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 11; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.023 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты