Нормальный закон распределения. Ответ: Нормальный закон распределения(закон Гаусса)

Ответ: Нормальный закон распределения(закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами и (обозначают ), если ее плотность вероятности имеет вид:

, где , .
Функция плотности вероятности f(x)	Функция распределения F(x)
Рис.2. Нормальный закон распределения

Математическое ожидание характеризует центр рассеивания значений случайной величины и при изменении кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс (см. рис. 2 при и при ). Если же при неизменном математическом ожидании у случайной величины изменяется дисперсия, то кривая будет изменять свою форму, сжимаясь или растягиваясь (см. рис. 2 при : ; ; ). Таким образом, параметр характеризует положение, а параметр - форму кривой плотности вероятности. Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами и (обозначается N(0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной. Согласно определению функция плотности вероятности и функция распределения связаны между собой: , где . Интеграл такого рода является "неберущимся", поэтому для его нахождения используют особую функцию, так называемый интеграл вероятностей или функцию Лапласа, для которой составлены таблицы (см. Приложение 1).

, - функция нечетная!
Рис. 3. Функция Лапласа Ф(t)

Используя функцию Лапласа можно выразить функцию распределения нормального закона по формуле: , где . Для практических целей очень важны свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения. 1)Если , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х₁;х₂) используется формула: . 2)Вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна: .

3)"Правило трех сигм". Если случайная величина , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале ( ). (Вероятность выхода за эти границы составляет 0,0027.) Правило позволяет, зная параметры ( и ), ориентировочно определить интервал практических значений случайной величины. Пример 5. Случайная величина распределена нормально с параметрами , . Найти вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14).

.

Пример 6. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами , . Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм. Вероятность того, что погрешность измерения в одном испытании не превышает 3 мм:

. Вероятность того, что эта погрешность измерения в одном испытании превышает 3 мм, равна: . Вероятность того, что во всех трех испытаниях погрешность измерения превышает 3 мм: . Искомая вероятность: .