Непрерывная случайная величина. Плотность вероятности.

Ответ: Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю P{X=α}=0 для любого α.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x+Dx равна приращению функции распределения на этом участке: P{x£ X <x+Dx}=F(x+Dx) - F(x). Плотность вероятности на этом участке определяется отношением: (5.6) Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке xназывается производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения. Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности. Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке: (5.7) В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4). Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность: (5.8)

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5). Основные свойства плотности распределения: 1)Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0. Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной. 2)Условие нормировки: Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так: 1)вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; 2)полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.