Метод переменных состояния. основывается на 2 уравнениях, записываемых в матричной форме.

основывается на 2 уравнениях, записываемых в матричной форме.

1 ур-ие связывает матрицу 1-х производных по времени переменных сост-я с матрицами самих переменных сост-я и матрицами внешних воздействий. 2-е связывает матрицу выходных переменных с матрицами переменных состояния и матрицами внешних воздействий и является алгебраическим.

Матрица столбец, состоящая из переменных состояния, называется вектором состояния и обозначается х. Вектор входных сигналов обозначается как u. Тогда систему можно описать в компактном виде дифференциальным уравнением состояния

x = А х + В u .

Матрица А является квадратной размерностью n ´ n и называется основной или матрицей состояния, а матрица В имеет размерность n ´ m и называется матрицей входа.

к уравнению состояния необходимо добавить уравнения, устанавливающие связь между переменными состояния и выходными переменными y. Обычно это система линейных алгебраических уравнений

y = C x + D u,

где С– матрица выхода размерностью k ´ n, а D – матрица обхода, определяющая прямую зависимость выхода от входа. В физических системах эта матрица обычно равна нулю, так как во всех каналах между входами и выходами, как правило, присутствуют динамические звенья. Если матрица D отлична от нуля, это указывает на то, что по крайней мере один прямой путь от входов к выходам представлен обычным коэффициентом передачи.

Системе уравнений переменных состояния соответствует структурная схема (рис. 3.2).

U B dx/dt ∫ x C Y

_

A

Рис. 3.2

Y(p) = CX(p) + DU(p).

Если начальные условия нулевые, то

X(p) = (p1 - A)^-1BU(p).

В теории управления матрицы Y(p) и U(p) являются матрицами выхода и входа, поэтому матрицу

W(p) = C(p1 -A)^-1B,

устанавливающую связь между векторами выхода и входа, называют матрич-

ной передаточной функцией. Она имеет размерность dim W(p) = m × m:

где Wij(p) = yi /uj = скалярные передаточные функции. Передаточные функции, находящиеся на главной диагонали, называются собственными передаточными функциями (i = j), остальные – передаточными функциями перекрёстных связей.

Обратная матрица (p1 -A)^-1может быть найдена по выражению

Adj (р1 - А)

(р1 – А)^-1 = .

det (p1 – A)

Как следует из этого выражения, все скалярные передаточные функции содержат одинаковый знаменатель

А(р) = det (p1 – A) = pⁿ + a_np^n-1 + … + a₁,

который называется характеристическим полиномом и имеет n порядок. Если теперь характеристический полином приравнять нулю, то получим характеристическое уравнение системы

А(р) = det (p1 – A) = 0.

второй метод. Хорошо известно, что для стационарных систем уравнение

D (p) = 0,

где р – скалярная комплексная переменная – является характеристическим уравнением системы, а корни этого уравнения р _I – полюсы системы. Если система описывается уравнением состояния

x = А х + В u ,

то характеристическое уравнение можно записать в следующей детерминан- тной форме

det(p 1 - A) = 0

или (*)

det(А – р 1) = 0.

Корни этого уравнения и, следовательно, полюсы системы известны в матричном исчислении как собственные значения или как характеристические числа матрицы А. Уравнение (*) получается при нахождении такого вектора z в пространстве состояний, который преобразуется матрицей Аc точностью до постоянного множителя сам в себя. Другими словами

Az= pz.

В методе переменных состояния необходимоcть определять корни характеристического уравнения путём вычисления собственных значений матрицы А является главной трудностью аналитического метода (см. Приложение).

Третий метод основан на теореме Сильвестра, согласно которой

е^Аt = exp(λ_it) F(λ_i),

где

F(λ_i) = (A - λ_j1)/(λ_i - λ_j).

При этом предполагается, что матрица А квадратная с n различными собственными значениями λ_i, которые совпадают с корнями р_i характеристистического уравнения цепи

det (A - λ1) = 0.