Основные идеи колич. и порядковой теорий натур. числа

Колич. теория.

Г. Кантор, XIX в. Основные понятия – мн-во, взаимнооднозначное соответствие.

В том случае, если каждому элементу мн-ва Х соответствует единственный элемент из мн-ва У, то говорят, что между этими мн-ми установлено взаимнооднозначное соответствие.

Рассмотрим 2 бесконечных мн-ва: (1) мн-во натур. чисел 1, 2, 3, 4, 5,…n, … (2) мн-во четных натур. чисел 2, 4, 6,…2n, …( подмн-во (1));

Так как ряд четных чисел можно пронумеровать с помощью натур. чисел, то между этими двумя множествами можно установить взаимнооднозначное соответствие. Если между мн-вом и его некоторым подмн-вом нельзя установить взаимнооднозначное соответствие, то мн-во является конечным. Если между двумя конечными мн-ми можно установить взаимнооднозначное соответствие, то эти множества называются равночисленными.

Отношение «быть равночисленными» на мн-ве всех множеств является рефлексивным, симметричным, транзитивным, а значит, является отношением эквивалентности. Поэтому отношение «быть равночисленным» разбивает мн-во всех множеств на классы. В эти классы попадут самые различные мн-ва. Общее между ними – одинаковое кол-во элементов (в класс «5» - 5 цветов, 5 пальцев).

Натур.числом называют общее св-во класса не пустых, конечных, равночисленных множеств.

Покажем, как операции над числами определяются через операции над множествами.

Обозначим через n(А) кол-во элементов в мн-ве А.

Введем операцию сложения над числами через операцию объединения над множествами.

Суммой чисел a и b называется кол-во элементов в объединении множеств А и В, которое равно

а + b = n(АÈВ) = n(А) + n(В), при условии, что АÇВ = Æ.

Порядковая теория натур. числа.

Джузеппе Пеано, XIX в. Осн. понятия: единица (е), операции: непосредственно следовать за, сложение, умножение.

В основе теории – аксиомы Пеано, кот. явл. свойствами натур. ряда чисел.

1 аксиома. Единица непосредственно не идет ни за каким натур. числом.

2 аксиома. Любое натур. число непосредственно следует не более, чем за одним натур. числом.

3 аксиома. Если к натур.числу х добавить 1, то получим непосредственно следующее натур. число х`, т.е. х + 1= х`.

4 аксиома. С пом. добавления единицы к натур. числу можно получить весь ряд натур. чисел.

5 аксиома. Если натур. число х умножить на 1, то получим само натур. число, т.е. х∙1 = х.

х + у` = х + (у + 1) = (х + у) + 1 = (х + у)`

Познание ребенком понятия числа происходит одновременно в рамках количеств. и порядковой теорий.

30.. Особенности развития у дошкольников представлений о натуральном ряде чисел.

Натур. ряд – послед-ть целых положит. чисел, расположенных в порядке их возрастания.

2-4 года. На основе речи взрослых дети начинают рано употреблять слова-числительные: сначала хаотично, затем упорядочено. Осознание порядка следования чисел происходит сразу в 2-х направлениях:

- увеличиваются последовательности чисел, которые дети запоминают,

- начинают осознавать, что каждое числит. всегда занимает свое определ. место, но на этом этапе не понимают, почему это происходит.

У детей образуются рече-слухо-двигательные связи между называемыми числительными. Ребенок называет ряд натур. чисел подобно бессмысленной считалке и не может продолжить ряд чисел с середины, т.к. дети не понимают отношений между числами.

4-5 лет. Дети не всегда могут ответить на вопрос, какое число идет до этого, а какое после. Не могут назвать предыдущие числа. Для них ряд движется как бы вперед (понимают только последние числа). Такое представление о натур.ряде называется «пространственным образом натур.ряда чисел». Чтобы найти число на единицу больше дети мысленно или вслух начинают называть слова-числит. от начала ряда. Таким образом, разностные отношения между предыдущими и последующими числами еще не усвоены.

5-6 лет. Эмпирические представления о натур.ряде как пространственном образе перестраиваются в понятие о натур. ряде чисел. Дети начинают осознавать основной принцип построения натур. ряда: (п` = п + 1).

31. этапы развития счетной деят-ти у д-й д.в

Счет – это деятельность с конечными множествами. Счет включает в себя структурные компоненты:

· цель (выразить количество предметов числом),

· средства достижения (процесс счета, состоящий из ряда действий, отражающих степень освоения деятельности),

· результат (итоговое число): сложность представляется для детей в достижении результата счета, то есть итог, обобщение. Выработка умения отвечать на вопрос «сколько?» словами много, мало, один два, столько же, поровну, больше, чем… ускоряет процесс осмысления детьми знания итогового числа при счете.

Из теории арифметики известно, что счет – это установление взаимно однозначного соответствия элементов между двумя сравниваемыми множествами.

Вначале счетная деятельность носит чисто практический характер: дети начинают сравнивать множества, еще не зная о числе. Такое сравнение позволит очень маленькому ребенку судить, например, о том, что ему дали меньше конфет, чем его брату. Малыш не может сам рассказывать, как он это узнал, но наблюдения за его поведением показывают, что это сравнение он делает, сопоставляя один предмет с другим, как бы сравнивая их попарно. Наглядное сопоставление элементов одного множества с элементами другого позволяет ребенку судить о равенстве и неравенстве множеств, и на основе такого сравнения ребенок высказывает свое суждение. Уже самые маленькие дети, овладевшие приемами практического количественного сопоставления множеств, начинают хорошо различать их.

Многие исследования показали огромное значение этого этапа для последующего развития счетной деятельности детей. Между тем данному этапу не придавали должного долгое время значения в процессе обучения счету детей трех лет.[2] Обучая детей сравнению множеств путем сопоставления элементов одного множества с элементами другого, дети к четырем годам начинают отчетливо понимать, что всякое множество состоит из отдельностей и внимательно следить за тем, чтобы сопоставить одни предметы с другими. Манипуляции с множествами служат пропедевтикой будущей счетной деятельности детей, особенно это становится очевидно, когда все движения с предметами сопровождаются повторением одного и того же слова: «Вот…вот…вот» и т.д. Слово помогает выделить элемент из множественности однородных предметов, движений. Необходимо уже с раннего возраста не только учить детей различать «много» и «один», но и формировать представление о множестве как структурно-целостном единстве, а также четкое восприятие отдельных элементов, образующих множество.

· Такое манипулирование с множествами рассматривается как первый этап

в развитии счетной деятельности.

· Затем появляется интерес к сравнению величин и множеств. Это прослеживается

у детей третьего года жизни и рассматривается как второй этап в развитии счетной деятельности.

Затем, отправляясь от практических действий с неопределенным количеством однородных предметов, обучаясь количественному сравнению множеств, но, еще не умея считать, не зная названий чисел, упражняясь дальше в сравнении множеств на основе счета с помощью числительных, дети постепенно поднимаются до абстрагирования числа, до отвлеченного представления о числе как о показателе мощности множества. Дети 2-3 лет четко различают равенство и неравенство количественных групп и уже подготовлены к усвоению счета с помощью слов – числительных.

· На третьем этапе развития счетной деятельности при сопоставлении

элементов сравниваемых множеств начинает включаться последовательное называние слов – числительных. Происходит на данном этапе ознакомление детей с называнием счета, обучении умению отвечать на вопрос «сколько?», называя при этом последнее при счете число. Счет предметов, предварительное сравнение их, например, 1 и 2, 3 и 2, 3 и 4, осуществляет педагог, а дети, наблюдая процесс счета, отвечают на вопросы: «Сколько всего кукол? Мишек? Поскольку мишек и кукол? (поровну, по три). Чего больше (меньше)?

Понимание значимости итогового числа при счете усваивается детьми быстрее. Они дифференцируют итог счета от процесса счета, что весьма важно для данного этапа. Дети на данном этапе не сразу учатся считать предметы в большом количестве. Сравнивая две совокупности, состоящие из равного количества элементов, или две совокупности, одна из которых будет содержать на один элемент больше, дети в четыре года учатся считать, пользуясь словами-числительными, сначала в пределах пяти, а уже позднее (5-6 лет) усваивают счет и в пределах десяти.

Упражнениям по счету предшествует анализ состава предметов, выделение общих признаков, способа расположения. В процессе обучения счету постоянно варьируются задания, оценивается равное и неравное количество предметов (2 и 3, 3 и 3, 3 и 4 и т.д.) при ознакомлении со счетом для каждого числа показывается способ его получения. В ходе объяснения в сочетании с показом воспитатель знакомит детей с правилами счета: показывая рукой предметы, начиная от первого, т.е. расположенного слева, одновременно следует называть последовательно числа. После называния числа, соответствующего последнему в ряду предмету, важно акцентировать внимание детей с помощью кругового движения рукой и ответить на вопрос «сколько?». Числа называются четко, строго в порядке следования, а сами пересчитываемые предметы не называются. Называть предметы следует лишь при подведении итога счета («Все 5 квадратиков»). В самом начале обучения сету следует обращать внимание детей на необходимость соотнесения первого в ряду предмета с числом один, а не со словом раз, что имеет место в считалках, быту.

На данном этапе необходимо обращать внимание на выработку умений считать слева направо, брать предметы по одному правой рукой и раскладывать их слава направо. Это обстоятельство необходимо для дальнейшего обучения письму, чтению, хотя в определении количества особой роли не играет. Обучение счету сопровождается беседами с детьми о назначении, применении счета в разных видах деятельности. Постепенно дошкольники переходят к пересчитыванию предметов быта, игрушек. Воспитатель должен стремиться к тому, чтобы счет использовался детьми повсеместно и число наряду с количественными и пространственными признаками предметов помогло бы детям лучше ориентироваться в окружающей действительности.

· На четвертом этапе развития счетной деятельности дети 5-6 лет четко

усваивают последовательность в назывании числительных, более точно соотносят числительное с каждым элементом множества независимо от формы его расположения и качества его элементов. Они не только начинают понимать значение последнего числа, как итогового, но и начинают осознавать, что число показывает равночисленность множеств независимо от пространственно-качественных их особенностей, что оно всегда служит показателем лишь количества.

В ходе знакомства с образование каждого из чисел натурального ряда в пределах 5 обращается внимание на способе получения нового (большего) числа путем добавления одного предмета. Берутся две группы предметов (елки и грибы), сравниваются (столько, сколько, поровну, по три, одинаково по количеству). Затем добавляется один предмет (вырос еще один гриб), выясняется, чего больше или меньше (грибов больше, чем елок, елок меньше, чем грибов). Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько стало грибов? Демонстрируется способ счета в пределах 4. после этого обе совокупности вновь сравниваются. Педагог подчеркивает, что елок осталось прежнее количество (3), а количество грибов увеличилось, их стало больше – 4, так как добавили еще один гриб.

· На пятом этапе можно обучать детей 6-7 лет счету множеств в различным

основанием единицы, когда считаются уже не отдельные предметы, а группы, состоящие из нескольких предметов. Дети усваивают, что единицей счета может быть целая группа, а не только отдельный предмет.

· Шестой этап развития деятельности счета в основном падает уже на 1 класс

школы, где, упражняясь в счете множеств с различным основанием единицы, дети усваивают счет десятками. В процессе развивающейся счетной деятельности у детей формируется целый ряд понятий, а также развивается новый вид деятельности – измерение. Пользуясь сначала счетом отбельных предметов, затем групп, измеряя ту или иную длину различными условными мерками, а затем общепринятыми мерами, измеряя жидкие и сыпучие тела, измеряя температуру воды, воздуха градусами, измеряя длительность и текучесть времени часами, дети осваивают понятие числа, которое развивается.

В работе по развитию количественных представлений необходимо учитывать работу различных анализаторов ребенка. Все ощущения, передаваемые в кору головного мозга, служат основой формирования представлений о неопределенной множественности разных явлений. На разных этапах восприятия множества и его элементов анализаторы играю различную роль. Кинестетический анализатор играет ведущею роль, как самой счетной деятельности, так и представлений о множестве. Счет вне движения невозможен. Например, мы считаем, не прибегая к движению рук, но мы считаем глазами, переносят свой взор с одного предмета на другого. В период раннего детства усиливается роль зрительного анализатора, когда внимание ребенка привлечено к границам множества, когда в первую очередь фиксируются они. В результате заучивания слов-числительных, даже произносимые по порядку, являются не чем иным, как речедвигательным стереотипом, а не пониманием значение числа. А ритмическое называние слов считалок или слов-числительных помогает более четко дифференцировать отдельные элементы множества, воспринимаемые на слух и воспроизводимые в движении.

Таким образом, если в младшем дошкольном возрасте знания численностей множеств опирались на сенсорное восприятие, то постепенное усвоение ЭМП поднимает уровень развития детей до опосредованных их оценок, который служит основой для развития у детей новой деятельности – вычисления. Она имеет дело с числами как абстрактными понятиями, в то время как счетная деятельность имеет дело с конкретными множествами (предметами, звуками, движениями, объёмами и т.д.), которые воспринимаются различными анализаторами.

32-33. Методика обучения количественному счету, счету наощупь, воспроизведению звукового множества и счету на слух, счету движений

Обучение счёту происходит на основе сравнения двух групп предметов по количеству. 1 этап воепти-ль сам ведёт процесс счёта, а дети повторяют за ним итоговое число. Показывается независимость числа предметов от др признаков предметов. 2 этап восп учит детей процессу счёта и знакомит с образованием каждого числа. Учит сравнивать смежные числа. Алгоритм ознакомления с образованиемчисла:! показываем одно множество, могущество которого выражено уже знакомым числом.- Что это? - сколько их? 2) показываем другое множество, могущество которого равно могуществу первого - что это? -Сколько? 3) сравниваем множество по количеству элментов, которые входят в них: - чего больше? -Чего меньше? - Поровну, по сколько? 4) нарушаем ровность (добавляем) 5)сравниваем - Чего теперь больше? 6) пересчитываем большее множество - а вот сколько теперь предметов я вам подсчитаю. - Так сколько предметов? 7) сравниваем множества через счёт.Смежные числа - этих предметов 4, а этих-3,их меньше. Какое число больше 4 или 3? - какое число меньше 3 или 4? На сколько число 3 меньше за число4? На сколько число 4 боьше за ч 3 ? 8) обновление равенства - добавить. 9) счёт другого множества 10) сравнение множеств через счёт - сколько этих предметов? Чего больше меньше? Поровну, по сколько?

В процессе занятия в ср гр счёт с включением деятельности различных анализаторов сочетается с отчётом, воспроизведением различных совокупностей по образцу и заданному числу. При сосчитывании определяется число элементов в множестве, а при отсчитывании из большего числа элементов берётся определённая часть, тождественная образцу или названному числу. При обучении отсчитыванию особое внимание следует уделить следующему правилу: числительное надо называть лишь на 1 момент движения. Виды упражнений по отсчитыванию:

• Отсчитывание по образцу ( столько-сколько); сначала образец даётся в непосредственной близости, а затем на расстоянии.

• Отсчитывание по названному числу

• Детям ст возр предлагается запомнить 2 смежных числа и отсчитать 2 группы предметов ( из корзины отсчитать 2 яблока и Згруши) обращается внимание на то, чтобы дети запомнили какое количество предметов надо отсчитать, просим детей повторить названные числа. Сколько предметов отсчитали? (столько же сколько предметов на карточке...)

34. специфика деятельности отсчета. Обучение д-й отсчетуОбучение приемам отсчета предметов. После того как дети научатся вести счет предметов, их учат отсчитывать предметы, самостоятельно создавать группы, содержащие определенное число предметов. Данной работе отводят 6—7 занятий. На этих занятиях параллельно идет работа и по другим разделам программы.Обучение отсчету предметов начинают с показа его приемов . Обычно новый способ действия поглощает внимание ребенка, и он забывает, сколько предметов надо отсчитать. Многие дети, отсчитывая, соотносят числительные не с предметами, а со своими движениями, например берут в руку предмет и произносят один, ставят его и говорят два. Объясняя способ действия, воспитатель подчеркивает необходимость запомнить число, показывает и разъясняет, что предмет надо брать молча и только тогда, когда он поставлен, называть число. При проведении первых упражнений детям дается образец (карточка с кружками или рисунками предметов). Ребенок отсчитывает по образцу столько игрушек (или вещей), сколько кружков на карточке. Карточка служит средством контроля за результатами действия. Дети считают кружки сначала вслух, а в дальнейшем про себя. Кружки на карточке-образце могут быть расположены по-разному. Вначале ребенок получает образец в руки, а позднее педагог его только показывает. Особенно полезны упражнения в уравнивании совокупностей предметов типа «Отсчитай и принеси столько пальто, чтобы всем куклам хватило». Ребенок считает игрушки и приносит требуемое. Данные упражнения позволяют подчеркнуть значение счета.На третьем занятии дети учатся отсчитывать предметы по названному числу («Отсчитай и принеси 4 зайчика»). Педагог постоянно предупреждает их о необходимости запоминать числа. От упражнения в воспроизведении одной группы дети переходят к составлению сразу двух групп, к запоминанию двух чисел («Принеси 3 зайчика и 4 морковки»). Давая такие задания, называют соседние в натуральном ряду числа. Это позволяет попутно упражнять детей в сравнении чисел. Детям предлагают не только отсчитать определенное количество предметов, но и расположить их в определенном месте, например поставить на верхнюю или нижнюю полочку, положить на столе слева или справа и т. п. Воспитатель меняет количественные соотношения между одними и теми же предметами, а также место их расположения. Устанавливаются связи между числом, качественными признаками и пространственным расположением предметов. Дети все более самостоятельно, не ожидая дополнительных вопросов, рассказывают о том, сколько, каких предметов и где расположено. Результаты отсчета они проверяют, пересчитывая предметы.На последующих 2—3 занятиях детям предлагают сделать так, чтобы разных предметов было поровну. (3 круга, 3 квадрата, 3 прямоугольника — всех фигур по 3.)Общим признаком для всех групп предметов в данном случае является равное их количество. После таких упражнений дети начинают понимать обобщающее значение итогового числа.Показ независимости числа предметов от их пространственных признаков. Дети научаются (в итоге 8—10 занятий) вести счет и отсчет предметов. Однако это не означает, что у них сложилось представление о числе. Воспитатели часто сталкиваются с фактом, когда ребенок, пересчитав предметы, оценивает как большую группу ту, в которой предметов меньше, но они более крупного размера. Как большую дети оценивают и группу предметов, занимающую большую площадь, несмотря на то что в ней может быть меньше предметов, чем в другой, занимающей меньшую площадь.

35. Современные методические подходы к знакомству с цифрамиОзнак. с названием и внешним видом цифры идет в возрасте до четырёх лет, а после обучения счету детей знакомят с сущностью цифр.

1 этап. Восп-ль в различных ситуациях знакомит детей с именем и внешним видом цифры (в процессе прогулки обращает внимание на номера домов, машин; на номера страниц).Восп-ль читает стишки, в которых описывается внешний вид цифр . (С.Маршак «Веселый счет», Г. Виеру «Считалочка»).

2 этап: (ср.возр.)Как только дети научились считать в соответ. пределах, их необходимо познакомить с сущностью каждой цифры последовательно. Предлагается обозначить в гр. кол-во предметов разными способами: соответствующим количеством счетных палочек, соответствующей числовой карточкой, и, наконец, с помощью цифр.Можно предложить детям рассмотреть таблицу, где нарисовано одно и то же кол-во разных предметов и все они обозначены одной цифрой.

Подводим детей к тому, что одинаковое кол-во предметов всегда обозначается одной и той же цифрой. Отличие понятия «число» и «цифра» (лiк – число, лiчба - цифра): цифра - значок или рисунок, с пом. кот. можно написать число или указать кол-во предметов. Надо понимать, что число изобр-ся не только с помощью цифры. Можно познакомить детей с римской нумерацией – изображением числа с помощью рисунков. Или предложить цветные числа – палочки Кьюизенера.

Упр-я на закрепление сущности цифр:- Подобрать цифру для соответ. мн-ва.- Создать (найти) группу предметов, соответствующую по кол-ву показанной цифре.

Игры: «Найди пару» (лото).«Найди свой домик».

Знакомство с цифрой 0.

Детям предлагается 3 блюдца: на одном - 3 предмета, на другом - 5, на третьем - ни одного. Просим обозначить с помощью цифр кол-во предметов в каждом блюдце. Дети могут сообразить, что на пустое блюдце надо положить «0». Если дети затрудняются, то воспитатель читает стихотворение про «0»: Цифра вроде буквы «О» - это «ноль» иль «ничего». А затем поясняем, что отсутствие предметов также обозначаем цифрой, это – цифра «0».

Знакомство с изображением числа 10.

Надо показать детям, что число 10 изобр-ся с помощью двух цифр «1» и «0». Восп-ль читает соответствующий стих.

Круглый ноль такой хорошенький, но не значит ничегошеньки.

Ну, а если рядом с ним единицу примостим –

Он побольше станет весить, потому что это - десять. (С.Я.Маршак)

Для закрепления подходят те же игры, что и для других цифр. В игры и упражнения включаем 0 и 10.

36. Методика знакомства детей с образованием числа Сформированное в мл. дошк. в-те (2—4 года) умение анализировать мн-ва предметов с точки зрения их численности, видеть послед-ть и различия по качеств. и количеств. признакам, представление о равенстве и неравенстве предметных групп, умение должным образом отвечать на вопрос «сколько?» (столько же, здесь больше, чем там) является основой овладения счетом.

В ср. дошк. в-те (пятый год жизни) в процессе сравнения двух групп предметов, выделения их свойств, а так же счета у детей форм-ся представление о числе, позволяющее дать точную колич-ю оценку совокупности. Они овладевают приемами и правилами счета предметов, звуков, движений (в пределах 5).

Для формир. у детей представлений о натур. ряде чисел их знакомят с образованием числа (в пределах 5) в процессе сравнения двух множеств предметов и увеличения или уменьшения одного из них на единицу.

На протяжении всего этого периода обучения уделяется большое внимание сравнению множеств предметов по кол-ву составляющих их элементов, уравниванию множеств, отличающихся одним элементом, установлению взаимосвязи отношений «больше — меньше».

В ср. группе дети, овладев умением считать предметы, звуки, движения, отвечать на вопрос «сколько?», учатся практически пользоваться количественным и порядковым счетом.

В процессе обучения у детей формир. умение воспроизводить мн-ва, отсчитывая предметы по образцу, по задан ному числу из их большего кол-ва, запоминать числа.

В ходе спец. упр-ий по овладению счетом у детей форм-ся представление о числе как общем признаке разнообразных множеств. Они убеждаются в независимости числа от несущественных признаков, используют различные способы получения равных и неравных по кол-ву групп. Дети учатся видеть идентичность (тождественность), обобщать по числу предметы множеств (столько же, по четыре, пять, такое же количество, т. е. число).

В процессе практич. действий с мн-ми предметов счета и сравнения дети овладевают словами и выражениями: число, здесь столько же, тоже три, первый, пятый, последний, пара; разложил в ряд, подложил один предмет под другой, составил пары, добавил один .... убрал один..., стало меньше, сосчитал, отсчитал столько, сколько нарисовано... и др. При этом они упр-ся в построении простых и сложных предложений с союзами и, а, если, то, объяснении своих действий, умении задавать простые вопросы со словом сколько о количестве предметов в комнате, на картине.

Учатся выражать в речи не только результат своих действий, т. е. отвечать на вопрос «Что ты сделал?», но и способ выполнения действия. Сначала по вопросам педагога, а затем самост. дошк-ки отвечают на вопрос «Как ты выполнил задание?».

В пер-д дочислового обучения форм-ся чувственная основа дальнейшего овладения счетом: расчлененное восприятие совокупности, практич. установление поэлементного соответствия, общая количеств. оценка, что стимулирует потребность в определении некот. кол-тва предметов конкретным числом.

Счет как деят-ть с конечными мн-ми включает след. структ. компоненты: цель (выразить кол-во предметов числом), средства достижения (процесс счета, состоящий из ряда действий, отражающих степень освоения деятельности), результат (итоговое число).

Наибольшую сложность для детей представляет достижение результата счета, т. е. итог, обобщение. Выработка умения отвечать на вопрос «сколько?» словами много, мало, один, два, столько же, поровну, больше, чем... ускоряет процесс осмысления детьми значения итогового числа при счете.

В ходе упр. по обучению счету необходимо сформ-ть у детей умение соотносить называемое по порядку число с одним из предметов, не пропускать предметы, числа и не называть их повторно.

Обучение счету путем поэлемент. сопоставления двух предметных множеств помогает подготовить детей к познанию отношений между числами.

Период обучения счету делят на два этапа.

Цель первого этапа состоит в ознак. детей с назначением счета, обучении умению отвечать на вопрос «сколько?», называя при этом последнее при счете число. Счет предметов, предварит. сравнение их (1 и 2, 3 и 2, 3 и 4) осуществляет педагог, а дети, наблюдая процесс счета, отвечают на вопросы: «Сколько всего кукол? мишек? По скольку мишек и кукол? (Поровну, по три.) Чего больше (меньше)?» В ходе таких упр. педагог переводит детей от дочислового сравнения к сравнению с помощью чисел: «Кукол две, а мишек три. Кукол меньше, чем мишек. Число 2 меньше числа 3».

Цель второго этапа обучения состоит в формир. у детей счетных умений, знакомстве с образованием каждого следующего числа на основе добавления предмета к одному из сравниваемых множеств. Нагл. материал для обучения подбирается с учетом доступности выделения детьми качеств, признаков и свойств предметов. Сначала исп-ся предметы, имеющие качеств. различия (большие и маленькие, красные и зеленые яблоки), затем отличающиеся родовыми признаками (яблоки и груши). Упр-ям по обучению счету предшествуют анализ состава предметов, выделение общих признаков, способа расположения (как правило, по рядам). В процессе обучения счету постоянно варьируются задания, оценивается равное и неравное количество предметов (2 и 3, 3 и 3, 3 и 4 и т. д.). При ознакомл. со счетом для каждого нового числа показывается способ его получения. В ходе объяснения в сочетании с показом восп-ль знакомит детей с правилами счета: показывая рукой предметы, начиная от первого, т. е. расположенного слева, одновременно следует называть послед-но числа. После называния числа, соответ. последнему в ряду предмету, важно акцентировать внимание детей с помощью кругового движения рукой и ответить на вопрос «сколько?». Числа называются четко, строго в порядке следования, а сами пересчитываемые предметы не называются. Называть предметы следует лишь при подведении итога счета («Всего 5 квадратов»).

В ходе освоения счета у детей возникают трудности в согласовании числительных с существительным в роде, числе, падеже. В начальный период обуч. обращается внимание на выработку умений считать слева направо, брать предметы по одному правой рукой и расклад-ть их слева направо. Это обстоятельство необходимо для дальнейшего обучения письму, чтению, хотя в определении кол-ва особой роли не играет. Обучение счету сопров-ся беседами с детьми о назначении, применении счета в разных видах деят-ти. Постепенно дошк-ки переходят к пересчитыванию предметов быта, игрушек. В ходе знакомства детей с образ. каждого из чисел натур. ряда в пределах 5 обращается их внимание на сп-б получения нового (большего) числа путем добавления одного предмета. Берутся две группы предметов (елки и грибы), сравниваются (столько, сколько, поровну, по три, одинаково по количеству). Затем добавл-ся один предмет, выясняется, чего больше или меньше. Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько стало грибов? Демонстр-ся способ счета в пределах 4. После этого обе совокупности вновь сравниваются. Подчерк-ся, что елок осталось прежнее количество (3), а количество грибов увеличилось, их стало больше — 4, так как добавили еще один гриб. Чтобы подгот-ть детей к усвоению общего принципа образ. любых чисел, следует упр-ть их в получении меньшего числа из большего. Педагог заостряет внимание ребят на способе получения числа: «Сколько было предметов? Сколько стало? Что нужно сделать, чтобы стало два вместо трех?» Обучение детей счету осущ-ся в ходе выполнения действий по увеличению и уменьшению пересчитываемых и сравниваемых мн-в на один элемент. Счет в пределах 5 усваивается детьми на трех-четырех занятиях. Вся последующая работа в ср. гр. способствует закреплению счетных умений, формир-ю навыков и представлений о числах.

В средней группе дети овладевают порядковым счетом.Для этого необходимо научиться различать вопросы «сколько?», «который?», «какой по порядку?». Пониманию и осмыслению детьми порядкового значения числа способствует расположение предметов в строго определенном порядке. В этом случае необх-ть определения порядкового номера объекта мотивирована. Порядок следования (первый, второй...) выявляется с опорой на дополн. признак: размер, цвет и др. Для обучения создается определенная ситуация: матрешки идут на прогулку, дети пошли в лес и т. д. Определяется порядковый номер и качественный признак (имя, рост, размер): «Первая девочка в красном платье, она самая высокая, вторая — в зеленом, она пониже» и т. д.

Формир-ю навыка счет. деят-ти, обобщению представлений о числе способствуют упр-я в сосчитывании звуков, движений, предметов по осязанию. Сначала дети овладевают умением считать звуки, движения, производимые воспитателем с помощью игрушки.Затем они считают звуки, движения, выполняемые ими самост., проговаривая числа вслух, а в дальнейшем шепотом и про себя, учатся запоминать числа. В работе по сопоставлению двух мн-в исп-ся непересекающиеся мн-ва (яблоки и груши, елки и грибы и т. п.).

Звуки и движения должны быть ритмичны, разнообразны, интересны: удары в барабан, бубен, стук в дверь, проговаривание одного и того же слова, хлопки над головой, прыжки, подбрасывание мяча и др. Лучше, если источник звука скрыт от детей ширмой, дверью, на слух, с закрытыми глазами. В кач. подготовки детей к счету звуков и движений уместны упр-я в попарном соотнесении звуков или движений с предметами, воспроизведение одного мн-ва в другом (на каждый звук возьми предмет, положи перед собой столько же игрушек, сколько насчитал движений).

В ходе обучения необходимо пояснять, что название числа должно совпадать с опред. моментом осущ. движения, например при подбрасывании мяча, когда он находится вверху, в полете.

Счет предметов по осязанию вначале носит игровой характер: взять, достать из «чудесного мешочка» опред. кол-во одинаковых мелких предметов, кубиков, матрешек. В дальнейшем дети считают предметы, зафиксир. неподвижно на плоскости (линейно расположенные: грибы на подставке, пуговицы, нашитые на картон, и т. д.). Нагл. материал после предварит. рассм-я закрывается салфеткой и пересчитывается. Правила счета те же: считать правой рукой, ведя ее по предметам слева направо, называя число в момент фиксации рукой предмета, левой рукой поддерживать карточку. Итоговое число называется сразу по окончании счета.

Отсчитывание определенной части мн-ва осущ-ся по тем же правилам, что и счет. По предложенному образцу (набор предметов, счетная карточка, числовая фигура) отсчитывается такое же количество предметов на основе зрительного восприятия или по осязанию. Уточняется смысл слов сосчитал и отсчитал.

Дифференциация действий сосчитывания и отсчитывания ведется по вопросам: «Что вы сделали: сосчитали или отсчитали? Как узнали, сколько предметов надо было отсчитать? Сколько предметов отсчитали?»

В ср. гр. детей обучают сравнивать мн-ва, чтобы определить равенство или неравенство по числу. Дошк-ки осваивают практич. способы уравнивания мн-в. Они добавляют или удаляют один из предметов, делая из неравных мн-в равные и т. п. Сравниваются мн-ва, выраженные в смежных числах, что дает возможность вычленить колич. отношения между числами натур. ряда. Допустимы упражнения в сравнении множеств с отличием в 2—3 элемента.

С целью выражения в речи понятия равенства задаются вопросы: «По скольку предметов в первом и втором рядах? Что можно сказать о количестве тех и других? (Поровну, столько же, по четыре, одинаково по количеству.) Как мы узнали, что предметов поровну? (Приложили, сосчитали)». Необходимо постепенно подводить детей к пониманию того, что, если будет установлено взаимно однозначное соответствие двух множеств, число .элементов одного из них можно назвать, не сосчитывая их.

Необходимо приучать детей понимать взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»: если в одном из множеств меньше элементов, то в другом обязательно будет больше, чем в первом, и наоборот (на один или несколько элементов). При анализе результатов4 сравнения дети пользуются словами больше, чем; меньше, чем.

От сравнения мн-в в числовом выражении осуществляется переход к сравнению чисел в конкретной практической ситуации: «Мы выяснили, что грибов больше, их четыре, а елок меньше, их три (при этом показываются предметы). Какое число больше (меньше): 3 или 4?» В обобщении пед-г подчеркивает, что число 3 меньше, чем 4, а 4 больше, чем 3. Дети используют различные способы выявления равночисленности и неравночисленности путем раскладывания предметов по горизонтальным и вертикальным рядам, наложения, составления пар, проведения линий (возможно, и условных) от одного предмета к другому. Практический способ выбирается, исходя из целесообразности применения его в конкретной ситуации. Детям можно предложить найти другие, еще неизвестные им способы сравнения. Элементы первого множества раскладываются сверху вниз (в столбик), а затем к ним справа и слева прикладываются элементы второго множества ,широко применим в практике обучения прием составления пар. Возможно соединение одного предмета с другим линией: ботинок и шнурок, лампочка и настольная лампа и т. д. Проведение линий от одного изображения к другому обнаруживает равенство или неравенство.

37. Формирование у детей старшего дошкольного возраста понимания взаимно обратных связей и отношений между смежными числамиСмеж. числа-числа,которые в натур. ряду стоят рядом. Связи-определение, кот. из чисел больше или меньше какого(3больше2) Отношение-определение на сколько одно больше(меньше)др.

Необходимо приучать детей (ср.гр) понимать взаимосвязь отношений больше/меньше. Если в одном множ-ве больше элементов, то в другом обязательно больше чем в первом. От сравнения множ-в в числовом выражении осущ-ся переход к сравнению чисел в конкретной практ-ой сит-ии(какое число больше/меньше).На конкретных примерах детям раскрывают постоянство связей между смежными числами( 3 всегда больше 2,а 2 меньше3) Детей ст/гр. учат сравнивать все числа в пред 10.Начинать работу целесообр. со сравнения чисел 2 и 3.Показать постоянство связей между числами позволяет неоднократное сравнение одних и тех же чисел с исп-ем разных групп предметов.

На разных мн-ах(выраженных смежными числами) дети устан-ют равенства, путем прибавления к меньшему или отнимая от большего. Отражать действие и рез-т в речи «Буду делать так, и пол-ся поровну» Подвести детей к понятию, что одно и то же число м/б больше и меньше в зависимомти от того, с каким числом сравниваем. Объяснить, что число хар-ся 2 признаками:качеством и порядком

Формир. представлений об отношениях м-ду числами (сравнение чисел) (4 – 6 лет)

1 этап (ср.возр.). Детей учат сравн-ть смеж. числа на основе сравнения 2-х мн-в по кол-ву.Выясняется, каких предметов больше, сколько каждого вида. Восп-ль подводит детей к выводу: «Раз мишек больше и мишек 4, то число 4 больше чем 3».

2 этап (ср.возр). Показ. постоянство отношений «больше» и «меньше» м-ду двумя числами, т.е. что 4 всегда больше 3. Для этого в упр-ях меняются качеств. признаки предметов и их пространств. расположение.

3 этап (ст.возр.). Показывается, что отношения «больше» и «меньше» относительны, т.е. что число 3<4, но 3>2. Для этого предлагается сравнивать сразу 3 послед. числа и побуждать детей при ответе обязательно уточнять: данное число «больше» (или «меньше») какого числа.

4 этап (ст.возр). Детей учат сравнивать несмежные числа. Рассуждение проводится на основе свойства транзитивности. Если 3<4<5<6, значит 3<6. При рассуждении следует опираться на наглядно-практический прием «числовая лесенка» (раскладывание предметов в убывающем или возрастающем порядке в параллельные ряды строго один под одним).

Детям показывается, что каждое число больше всех предыдущих, но меньше всех последующих.

Игры и упр-ия:«Живые числа» (построение в правильном порядке), «Что изменилось» (какое число пропущено или поменялось местами и почему), «Продолжай» (с мячом), «Считай наоборот», «Лото», «Назови соседей».

Формир-е умения сравнивать 2 группы предметов по кол-ву, путем установления взаимнооднозначного соответствия (c 3 до 6 лет)

Сущ. 6 приемовустановления взаимнооднозначного соответствия:- наложение ( мл.возр.)- приложение (мл.возр.)

- составление пар (мл. – ср.возр.)- соединение стрелками (ср.возр.)- использование множества-посредника (ст.возр.)- счет (ср.- ст.возр.)

Наложение. Нагл. мат-л: карточки с изобр-ми предметами (3 -5 шт.), расст. между предметами должно равняться самим предметам, для наложения даются мелкие предметы, которые должны быть связаны с рисунками по смыслу.Начинать нужно с пробл. ситуации. «Хватит ли всем бабочкам по цветочку, т.е. поровну ли у нас бабочек и цветочков».

Методика: Восп-ль расклад-т бабочки правой рукой слева направо точно одну бабочку на один цветочек. Останавливаясь на каждой паре, обращает внимание, что на каждом цветочке сидит одна бабочка, что между цветочками бабочку не кладем, оставляем пустое место. «У нас бабочек столько же, сколько цветочков, каждой бабочке хватило по цветочку, бабочек и цветочков поровну, одинаковое количество. Поровну ли бабочек и цветочков?» После демонстр. приема наложения детям даем упр-я, в которых они учатся сравнивать 2 группы предметов по кол-ву с помощью этого приема.

Приложение. Исп-ся карточки с двумя полосками. На верхней – предметы, а нижняя – пустая. Для приложения подбираются предметы, кот. подходят по смыслу.

Мет-ка обуч. приему приложения основывается на знании детьми приема наложения. Например, на верхней полоске раскладываем грибочки. Затем создаем ситуацию: на грибочки упали листики. Листики накладываем на грибочки и выясняем: поровну ли их. Затем перетягиваем послед-но каждый листик на нижнюю полоску: «подул ветер». Под каждым грибочком лежит только один листик. Между листиками - пустые места. «Поровну ли теперь листиков и грибочков? Если под одним грибочком лежит один листик, то грибочков и листиков поровну».

Упр-е: положить листиков на нижнюю полоску столько, сколько на верхней грибочков. Если дети затрудняются, то делим вертик. линиями карточку на клетки или можно провести стрелки от предметов верхней полоски на нижнюю.

Составление пар. Этот прием аналогичен приложению, но не применяются карточки. Исп-ся предметы, связ. м-ду собой по смыслу. Вначале предметы расставляем в ряд. Например, конфетами угощаем кукол. В дальнейшем не обязательно в ряд (можно по кругу). Восп-ль выясняет, поровну ли, например, белочек и зайчиков. Для проверки ответа необходимо одну белочку поставить около одного зайчика.

Соединение стрелками. Детям предл-ся такая ситуация, в кот. нельзя воспольз-ся известными им приемами (Нарисован торт и дети. «Хватит ли всем детям по кусочку торта?»). На рисунке соединяем одного ребенка с одним кусочком торта. Если лишних детей не осталось, то всем хватило.

Использование множества-посредника. Создаем ситуацию, когда нельзя использовать известные детям приемы. Например: с одной стороны детского сада растут деревья, с другой – тоже. Где растет больше деревьев? Исп-ем мн-во-посредник - камешки. Раскладываем один камешек под одним деревом. Сначала под предметами одного мн-ва, затем под предм-ми второго мн-ва. Делаем вывод о равенстве или неравенстве предметов по кол-ву.

Каждый из этих приемов даем в два этапа. Сначала формируем у детей предст-е об отнош. равенства («поровну»), для этого берем равночисл. мн-ва. А на втором этапе форм-ем представление об отношениях «больше» и «меньше». Понятие «больше» поясняем через слово «лишний», а «меньше» - через «не хватает».

38. Методика показа независимости числа от качественных и пространственных признаков множества.

Кол-во не зависит ни от качеств. признаков предметов, ни от их пространст. расположения, ни от направления счета. Чтобы подвести детей к такому выводу, провод. упр-я на сравн. двух групп предметов по кол-ву.(4-6 лет)

В ср. гр. прод-ся работа по формир-ю представлений о независимости числа предметов от их несущественных признаков: цвета, формы, размера, расстояния между ними, занимаемой площади, расположения их в пространстве. В ходе обучения сравниваются между собой равночисленные и неравпочисленные мн-ва по одному из указанных, а затем и по двум-трем признакам.

Мн-ва предметов располагают в простр-ве в зависимости от поставленной цели таким образом, чтобы была необходимость соотносить их, перекладывать, накладывать один на другой для доказательства равночисленности, а в дальнейшем — неравночисленности.

В упр-ях на демонстрацию независ. кол-ва предметов от занимаемой ими площади предметы одной совокупности расклад-ся по горизонтали на близком расстоянии друг от друга, второй — на более далеком расстоянии. Вначале выделяется общий признак предметов, входящих в каждую из совокупностей. Затем дети по заданию педагога находят отличительные признаки. Особо подчеркиваются различия в расстоянии между предметами, а отсюда и в занимаемой каждой совокупностью площади, т. е. в плотности и длине ряда. Первые упр-я следует проводить с использованием однородного материала, при этом подчерк-ся, что различие между мн-ми лишь одно — занимаемая площадь.

После противопоставления (одни предметы расположены близко один к другому, поэтому они занимают мало места, и наоборот)педагог предлагает детям найти способ определения равенства или неравенства по кол-ву предметов: «Как вы считаете, поровну их или нет? Как это доказать? (Вначале используются приемы наложения или приложения, затем сосчитывание.) В чем вы убедились?

Затем восстан-ся первонач. расположение предметов: «Почему на первый взгляд кажется, что этих предметов (указывается) больше (меньше) по количеству?» Дети объясняют кажущееся неравенство различием в способе расположения, занимаемой ими площади.

В ходе обучения необходимо исп-ть таблицы, карточки с различным расположением предметов. В этом случае дети используют еще один опосредованный способ доказ-ва соответствия или несоответствия: предметы — заместители объектов, эквиваленты.

Чтобы научить детей разным способам расположения одного и того же количества предметов, используется (наряду с другими пособиями) карточка, деленная на 2—4 части, на которой одно из множеств зафиксировано. Необходимо, чтобы ребенок, определив кол-во эл-ов мн-ва, самост. разложил по-иному еще несколько равночисленных совокупностей и объяснил, как это делается.

Воспит-ки ср. гр. вначале обобщают два мн-ва по числу, а затем три и четыре мн-ва. Постепенно усложн-ся и наглядный материал: от обобщения по видовым признакам переходят к обобщению по родовым признакам. Одно, а затем и два из обобщаемых множеств могут быть представлены в звуках, движениях: «По скольку больших и маленьких мячей? По скольку игрушек и звуков? По скольку звуков, игрушек и кругов? Найди столько кругов и квадратов, сколько было движений».

Дети убеждаются, что подлежащие количественной оценке совокупности могут отличаться одна от другой (иметь сходство) по различным пространственно-качественным показателям, что не влияет на число. Наиболее совершенный способ определения равенства или неравенства при этом — сосчитывание и определение общности (столько же, четыре) или различий (больше — меньше) по числу элементов.

На первом этапе подбир. легкие для детей признаки, с возрастом они услож-ся: цвет – форма – величина – расст-е м-ду предметами – разное распол-е в простр-ве – направление счета – объединение двух и более признаков. Каждое упр-е должно провод. в различных вариациях. В упр-ях задания должны быть сформул-ны так: каких предметов больше (меньше или поровну ли предметов), как узнать?Для выполн-я задания и ответа на вопросы дети сами выбирают 1 из приемов сравнения групп предметов по количеству (наложение, соединение стрелками, счет и т.д.)Игры: «Найди пару», «Найди свой домик», «Точечки».

39. Методика обучения дошкольников порядковому счету 1этап -сначала детям предлагаются подготовительные упражнения ( снесколькими видами наглядного материала), в которых показывается, что для ответа на вопрос сколько необходимо использовать числительные один два три т е количественные. При этом не важно в каком направлении ведётся счёт и как предметы расположены в пространстве. Затем знакомство с порядк счётом проводится в процессе драматизации сказки( теремок, репка). Воспитатель показывает, что для ответа на вопрос «какой по счёту?» используются порядковые числительные. Важно чтобы предметы располагались линейно и указывалось направление счёта. Доя закрепления проводятся упражнения, в которых определяется какой предмет каким по счёту - расположен « как называется фигура, которая стоит на третьем месте?

2 этап - показывается детям, в каких случаях исп количественные, а в каких порядковые числительные. Предлагаются упр в которых задаем 2 вопроса сколько всего? Какой по счёту? Следим какие числительные используют детиПоясняем в каком случае какие числительные надо произносить Важно оздавать ситуации в повседневеой жизни и играх. В которых бы дети видели отличия в использовании колич и порядк счёта. Виды упражнений: - опредеоить номер указанного предмета; - назвать предмет по указанному номеру. Игра «Что изменилось?»

40. Методика знакомства с составам числа