Тема 3. Решение систем линейных уравнений.

Правило Крамера.Решение систем при помощи обратной матрицы.Теорема Кронеккера – Капелли. Метод Гаусса и Жордана – Гаусса.

Тема 4. Векторная алгебра.

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Понятие линейной зависимости и линейной независимости. Базис. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл и выражение в декартовых прямоугольных координатах.

Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл и выражение в декартовых прямоугольных координатах. Смешанное произведение векторов, его свойства, геометрический смысл и выражение в декартовых прямоугольных координатах. Преобразование системы координат (параллельный перенос, поворот).

Тема 5. Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и

перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой. Отклонение и расстояние точки от прямой.

Тема 6. Плоскость и прямая в пространстве.

Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору и проходящей через данную точку. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной двум неколлинеарным векторам. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние точки от плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой). Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые. Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве.

Тема 7. Кривые второго порядка.

Эллипс и его каноническое уравнение. Исследование формы эллипса. Гипербола и её каноническое уравнение. Исследование формы гиперболы. Парабола и её каноническое уравнение. Исследование формы параболы. Классификация кривых второго порядка. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду методом Лагранжа. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду параллельным переносом и поворотом осей координат. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду методом инвариантов.

Тема 8. Поверхности второго порядка.

Основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры, вырожденные поверхности. Классификация поверхностей второго порядка. Приведение общего уравнения поверхности к каноническому виду методом Лагранжа.

Тема 9. Линейные пространства.

Определение линейного пространства. Примеры. Базис линейного пространства. Разложение элемента линейного пространства по базису.

Тема 10. Метрические, нормированные, евклидовы пространства.

Понятие метрического пространства. Примеры. Открытые и замкнутые множества метрического пространства. Понятие сходимости. Полнота метрического пространства. Примеры полных и неполных метрических пространств. Понятие нормы. Определение нормированного пространства. Примеры. Понятие сходимости. Определение евклидова пространства. Примеры. Понятие ортогонального и ортонормированного базиса.

Процесс ортогонализации.

Тема 11. Топологические пространства и элементы топологии.

Понятие топологического пространства. Различные способы задания топологий. Аксиомы отделимости. Понятие сходимости. Компактность.

Тема 12. Элементы дифференциальной геометрии.

Пространственная кривая. Вектор-функция и ее дифференцирование. Кривизна кривой. Формулы для вычисления кривизны плоской кривой. Естественный трехгранник пространственной кривой. Кручение кривой и его вычисление.