Тема 44. Логические основы математики

1. Высказывания и логические операции над ними.

2. Предложения с переменными (предикаты). Кванторы.

3. Аксиомы, определения, теоремы в математике.

4. Логическая структура теорем.

5. Необходимые и достаточные условия.

Тема 45. Элементы теории множеств и отображений

1. Множества и операции над ними.

2. Классическое определение функции (отображения).

3. Отношения на множествах.

4. Современное определение функции как бинарного отношения.

5. Операции над функциями.

6. Эквивалентные множества.

7. Счетные и несчетные множества.

8. Упорядоченные множества.

Тема 46. Алгебраические структуры и основные числовые системы

1. Принцип математической индукции.

2. Арифметика целых чисел.

3. Множества с алгебраическими операциями.

4. Группы, кольца, поля.

5. Поле рациональных чисел.

6. Иррациональные числа.

7. Поле действительных чисел.

8. Поле комплексных чисел.

9. Кольцо многочленов.

10. Разложение в кольце многочленов.

11. Поле отношений.

12. Общие свойства корней многочленов.

13. Многочлены с действительными коэффициентами.

14. Матрицы.

Тема 47. Аксиоматическое построение теории определителей.

1. Четыре аксиомы (свойства) определителей.

2. Вывод других свойств определителя.

3. Теорема единственности.

4. Теорема существования.

5. Разложение определителя по столбцу.

Тема 48. Сущность аксиоматического подхода.

1. Геометрия Евклида как первая аксиоматическая теория.

2. Элементы (объекты) и отношения между ними.

3. Аксиомы. Вывод логических следствий из аксиом.

4. Придание теории содержательного смысла.

Тема 49. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и вероятностные пространства.

1. Предмет и задачи теории вероятностей.

2. Опыт, событие. Относительная частота, ее устойчивость.

3. Построение математической модели случайного опыта: пространство элементарных событий, события в модели.

4. Алгебра событий. Поле событий.

5. Аксиоматическое построение теории вероятностей.

6. Примеры вероятностных моделей.

7. Классическая вероятность.

8. Элементы комбинаторики.

9. Геометрическая вероятность.

10. Условная вероятность.

11. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

12. Независимость событий.

13. Формулы полной вероятности и Бейеса.

Тема 50. Случайные величины и их числовые характеристики

1. Определение случайной величины.

2. Дискретные случайные величины.

3. Ряд распределения и функция распределения дискретной случайной величины.

4. Основные числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение) и их свойства.