Тема 17. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал функции.

Приращение аргумента и функции. Разностная форма условия непрерывности функции.

Понятие производной. Физический и геометрический смысл производной. Правая и левая производные. Дифференцируемость функции в точке. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Теорема о дифференцировании обратной функции. Производные основных элементарных функций.

Дифференцирование сложной функции. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

Дифференциал функции. Инвариантность первого дифференциала функции. Формулы и правила вычисления дифференциалов. Геометрический смысл дифференциала функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница производной n-го порядка произведения двух функций. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.Возрастание и убывание функции в точке. Лемма Ферма (об условиях возрастания и убывания дифференцируемой в точке функции). Локальный экстремум функции. Теорема Ферма (о необходимом условии локального экстремума). Теорема Ролля (о нуле производной). Теорема Лагранжа; формула конечных приращений. Теорема (правило Лопиталя) о раскрытии неопределенностей вида 0/0.

Теорема о раскрытии неопределенностей вида ¥/¥. Раскрытие неопределенностей других видов: 0*¥, ¥-¥, 1^¥, ¥⁰. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в формах Лагранжа, Пеано. Формула Маклорена. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа для формулы Маклорена.

Тема 18. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков функций.

Интервалы возрастания и убывания функции. Теорема о достаточном условии возрастания (убывания) функции на интервале. Стационарные точки функции. Теорема о достаточном условии экстремума функции (первое и второе достаточные условия). Направление выпуклости графика функции (вверх, вниз). Теорема о направлении выпуклости функции, имеющей конечную вторую производную на интервале. Теорема о направлении выпуклости графика функции, имеющей непрерывную вторую производную в данной точке. Точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Теорема о необходимом и достаточном условии существования наклонной асимптоты. Общая схема исследования функции и построение ее графика. Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.