Упражнения. 1. Фирма изготовляет два вида лыж — беговые и слаломные

1. Фирма изготовляет два вида лыж — беговые и слаломные. Цифро­вые данные о возможностях фирмы в день приведены в таблице. Сколь­ко пар лыж каждого типа должна производить фирма в день, чтобы прибыль была максимальной?

Таблица 2.6.2

2. Предприятие ИВЦ «Техномаш» выпускает два вида огнетушителей – порошковые и аэрозольные. Цифро­вые данные о месячной производительности приведены в таблице. Сколь­ко огнетушителей каждого типа должно производить предприятие в месяц, чтобы прибыль была максимальной?

3. Придумайте самостоятельно проблему, которую можно пред­ставить как задачу ЛП.

2.6.3. Геометрическая интерпретация задач ЛП

Если задача ЛП является задачей с двумя неизвестными х₁и х₂, то можно применить для ее исследования так называемый графичес­кий способ, основанный на геометрической интерпретации задачи ЛП.

Ограничения задачи ЛП определяют некоторую область в первой четверти плоскости x_l0x₂. Чтобы построить эту область (область пла­нов задачи ЛП) необходимо графически решить систему неравенств, представляющих собой ограничения. Изобразим область допустимых решений задач ЛП.

Вы знаете, что любое линейное неравенство с двумя переменны­ми делит плоскость на две полуплоскости, точки одной из которых удовлетворяют данному неравенству, точки другой — не удовлетворяют. Границей этих полуплоскостей является прямая, в уравнении кото­рой левые и правые части такие же как и в данном неравенстве. На­пример, изобразим графически неравенство

Рис. 2.13 Графическое изображение неравенства.

Алгоритм построения

1. Построили прямую

2. Определили, что все точки, лежащие выше прямой, удовлетво­ряют данному неравенству. Для этого достаточно взять какую-нибудь точку из любой полуплоскости и проверить, удовлетворяют или нет ее координаты данному неравенству. Самое простое — взять точку О (0, 0).

0х₁, — 0х₂,<6.

Следовательно, точка О (0, 0) принадлежит мно­жеству точек, удовлетворяющих данному неравенству. Если неравенство нестрогое, то точки прямой также будут удовлетворять неравенству.

Теперь ясно, как изобразить графически систему неравенств. Необходимо графически изобразить каждое неравенство, пересечение (об­щая часть) решений всех неравенств и будет изображать искомую область. Например, изобразим графически систему неравенств:

,

, (2.39)

,

Рис. 2.14 План задачи ЛП

Необходимо рассматривать только первую четверть, т. к. х₁и х₂ неотрицательны.

Решением данной системы является многоугольник, вершины которого находятся в точках (0, 0), (0, 10), (5, 8), (9, 4), (11, 0). Вершины многоугольника, являющегося решением данной системы неравенств определяются попарным решением линейных уравнений системы (2.39). Если данные неравенства суть ограничения задачи ЛП, то любая точка из получен­ного многоугольника (включая его границы) будет являться планом задачи ЛП.

Рассмотрим еще один пример. Изобразим графически решение следующей системы неравенств:

,

, (2.40)

,