Экономическая интерпретация результатов решения задачи формирования портфеля заказов

Для решения задач линейного программирования существует универсальный метод – симплекс-метод, который может быть, в частности, реализован в EXCEL с помощью надстройки «Поиск решения». Важное значение имеет не только решение с целью получения вычисленных значений переменных, но и анализ полученных результатов и устойчивость найденного решения к возможным изменениям внутренних и внешних условий. Рассмотрим интерпретацию результатов реализации в ЕXCEL задачи формирования производственной программы на примере модели (2.8)÷(2.10).

Основные результаты решения задачи содержатся в двух отчетах: отчете по результатам и отчете по устойчивости (оба отчета представлены на рис. 2.1).

В отчет по результатам, состоящий из трех небольших таблиц, включаются конечные значения целевой функции и переменных, дополнительные сведения об ограничениях.

В отчете по устойчивости (состоит из двух маленьких таблиц) содержатся сведения о чувствительности полученного решения к малым изменениям коэффициентов целевой функции или в формулах ограничений.

Выводы по отчету по результатам. Оптимальным планом предусматривается выпуск только двух видов изделий: 1-го и 3-го вида в количестве 200 и 95 единиц соответственно.

Рис. 2.1 Содержимое отчетов, созданных по результатам решения задачи в EXCEL.

При таком плане общая стоимость выпущенной продукции будет максимальной и составит 2170 тыс.руб. При этом фактическое использование ресурсов составит: по оборудованию – 780 часов, по сырью – 675 тонн, а по электроэнергии –790 квт-часов, т.е. ресурсы оборудования и электроэнергии используются полностью, а сырье недоиспользуется в объеме 175 тонн.

Выводы по отчету по устойчивости. Табличка «Изменяемые ячейки» содержит помимо результата решения задачи (колонка «Результирующее значение») нормированную стоимость единицы каждого вида изделия. Нормированная стоимость показывает, на какую величину изменится значение критерия оптимальности при увеличении объема выпуска данной продукции на одну единицу. Поскольку критерий (целевая функция) в данной задаче на максимум - то отрицательное значение теневой цены характеризует невыгодность продукции; если же теневая цена положительна ­ то соответствующая продукция выгодна. Невыгодной к выпуску является 2-ой вид изделия, выпуск каждой единицы 2-го изделия приведет к снижению значения целевой функции на 3,75 тыс.руб., поэтому выпуск этого вида изделия оптимальным планом не предусмотрен.

Три последних колонки содержат значение коэффициентов целевой функции (оптовая цена единицы каждого вида продукции) и предельные значения приращения целевых коэффициентов, при которых сохраняется найденное оптимальное решение. Например, допустимое увеличение цены на изделие 2-говида равно 3,75 тыс. руб/единицу, а допустимое уменьшение ­ практически неограниченно. Это означает, что если цена изделия второго вида вырастет более чем на 3,75 тыс. руб./единицу, то оптимальное решение изменится: станет целесообразным выпускать второй вид изделия. А если цена этого изделия будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (200, 0, 95) останется прежним.

Во второй части отчета по устойчивости содержится информация, относящаяся к ограничениям. В колонке «Результирующее значение» повторяется объемы использованных ресурсов. В следующей колонке приводится значение теневой цены (двойственной оценки) каждого из ресурсов. Теневая цена показывает ценность дополнительной единицы ресурса и показывает, на сколько изменится значение критерия оптимальности при увеличении количества данного ресурса на одну единицу. Чем больше значение теневой цены, тем более дефицитен ресурс, тем больше возрастает критерий оптимальности при увеличении этого ресурса на одну единицу. Теневая цена рассчитывается только для дефицитных видов ресурсов. Дефицитные ресурсы используются в оптимальном плане полностью. В нашей задаче ресурсы оборудование и электроэнергия имеют отличные от нуля теневые цены 0,25 и 2,5 ­ эти ресурсы используются полностью и поэтому являются дефицитными. Ограниченное количество оборудования и электроэнергии является сдерживающим фактором при оптимизации производственной программы: увеличение этих видов ресурсов привело бы к более хорошему варианту оптимального плана – за счет производства большего объема продукции и суммарная стоимость была бы больше.

Сырье полностью не используется в оптимальном плане, этот ресурс не является дефицитным и его увеличение не влияет на план выпуска продукции, поэтому его теневая цена равна нулю. Недефицитность ресурса возникает из-за невозможности его полного использования в полученном оптимальном плане. Суммарный расход сырья в количестве 675 тонн меньше его общего количества 850 тонн, поэтому план производства этим видом ресурса не лимитируется, Рассчитаем коэффициент использования сырья путем деления фактически используемого в оптимальном плане сырья на объем сырья, имеющегося в наличии: К=675/850=79,4%.

Необходимо отметить, что теневые цены ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами при закупке ресурсов. Теневая цена ресурса характеризует ценность ресурса относительно полученного оптимального решения.

Значения трех последних колонок (значение правой части ограничения, допустимое увеличение и допустимое уменьшение правой части) определяют диапазон изменения запасов ресурсов, в пределах которого можно рассчитать другие оптимальные решения, но сама структура оптимального плана не меняется (изделия, которые были убыточны, по-прежнему не будут входить в новые планы), а значения двойственных оценок ресурсов сохраняются.

По дефицитному ресурсу, который используется полностью, можно определить – на сколько нужно увеличить его объем для получения другого оптимального решения, которое было бы более хорошим по сравнению с рассматриваемым, т.е. обеспечило бы получение большей прибыли.

Например, в рассматриваемом примере дефицитным ресурсом является электроэнергия, в оптимальном плане этот ресурс используется полностью – все 790 квт-час. При увеличении лимита электроэнергии на 100 квт-час может быть получено более хорошее оптимальное решение, поскольку можно будет произвести больше продукции и увеличить общую стоимость произведенной продукции.

Однако, если получить дополнительно 400 квт-час электроэнергии, то электроэнергия в количестве 400-380=20 квт-час останется неиспользованной.

Если же ресурс является недефицитным и используется в оптимальном плане не полностью, то по данному ресурсу допустимое увеличение не определяется, а допустимое уменьшение определяется как разность между имеющимся объемом ресурса и фактически используемым его объемом.

Результаты решения моделей оптимизации производственной программы могут быть использованы для решения конкретных практических задач. Например, определить, какие виды продукции нерентабельны или какому ресурсу следует отдать предпочтение при решении задачи предельного увеличения запаса ресурсов.

Для того, чтобы изделие вошло в оптимальный план, его цена должна быть равна суммарной стоимости ресурсов, которые затрачены на производство единицы изделия, рассчитанной по двойственной оценке ресурсов. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности (в нашей задаче это изделия первого и и третьего видов). Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности.

Так, для производства единицы второго изделия используется 3 ед. ресурса оборудования, 4 ед. ресурса сырье и 4 ед. ресурса электроэнергия. Отвлечение 1 ед. дефицитного ресурса ведет к уменьшению критерия оптимальности на величину двойственной оценки.

Тогда производство единицы второго вида продукции ведет в целом к снижению критерия оптимальности на 3 ×0,25 + 4×0+ 4×2,5=10,75. Это больше, чем цена на единицу второго изделия на (10,75-7)=3,75. Таким образом, производство второго изделия нерентабельно, т.к. затраты ресурсов на него больше цены на 3,75 ед. Эта величина приведена в колонке «нормируемая стоимость» стандартной распечатки по результатам решения. При принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции второго вида критерий оптимальности снизится на величину нормируемой стоимости – т.е. на 3,75 тыс.руб.

Сравним суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы первого и третьего изделий, с их ценой.

По первому изделию: 2 ×0,25 + 1×0+ 3×2,5 =8= (8 тыс руб. цена первого изделия);

По третьему изделию: 4 ×0,25 + 5×0+2×2,5 =6=(6 тыс.руб. цена третьего изделия).

Таким образом, суммарная стоимостная оценка ресурсов, используемых при производстве единицы каждого из изделий первого и третьего вида, равна их цене, это рентабельные виды продукции, поэтому они включены в оптимальный план.

Перейдем к ответу на вопрос, какому ресурсу следует отдать предпочтение при решении задачи предельного увеличения запаса ресурсов.

При решении задачи предельного увеличения запаса ресурсов с целью максимизации выпуска продукции предпочтение следует отдать ресурсу, увеличение которого обеспечивает максимальный рост значения критерия оптимальности. Так, увеличение дефицитного ресурса электроэнергия на 1 квт-ч. приводит к росту критерия оптимальности на 2,5 тыс. руб.. Максимально (предельно) электроэнергию можно увеличить на 380 квт-ч., что приведет к росту критерия оптимальности на 2,5х380=950 тыс.руб. По оборудованию – 0,25х107,69=26,92 тыс. руб. Следовательно, руководству цеха выгодно добиться увеличения лимита на электроэнергию на 380 квт-ч.