Модели оптимизации состава промышленных смесей.

В ряде производств (металлургической, пищевой, нефтеперерабатывающей отраслях промышленности) готовая продукция получается путем смешивания различных исходных компонентов (сырья), при этом качество готовой продукции должно соответствовать определенным требованиям при достижении максимального экономического эффекта.

Проблема рационального использования сырья в этих случаях может быть решена путем применения экономико-математических моделей оптимального составления смесей.

Как правило, исходные компоненты смеси взаимозаменяемы по содержанию качественных характеристик. При этом важно обеспечить соответствие готовой продукции по указанным качественным характеристикам необходимым требованиям, которые определяются стандартами и сертификатами.

Модель задачи позволяет найти такой набор компонентов смесей и их количественное соотношение, которое удовлетворяет заданным технологическим требованиям по качеству, а также требованиям принятого критерия (минимальной себестоимости или максимальной прибыли).

Задача смешивания может быть рассмотрена в натуральных единицах или в долях.

Рассмотрим задачу определения количества сырья, необходимого для получения смеси заданного объема.

На предприятии изготавливается бензин А-76, в котором содержание серы не более 0,3%, а октановое число должно быть не ниже 76.

Данные об используемых компонентах (видах сырья ─ нефтепродуктах) приведены в таблице 2.3. Требуется определить, сколько тонн каждого компонента нужно взять для получения 1000 т бензина А-76, чтобы при этом себестоимость бензина была минимальной.

Таблица 2.3

Пусть ─ оптимальные количества соответствующих компонентов, входящих в состав готовой смеси.

Математическая модель задачи представлена в (2.62)÷(2.67):

целевая функция:

(2.62)

ограничение по октановому числу:

; (2.63)

ограничение по содержанию серы:

; (2.64)

ограничение по объему готовой продукции:

; (2.65)

ограничение по имеющимся ресурсам:

(2.66)

условие неотрицательности переменных:

(2.67)

В общем виде задача формализуется следующим образом:

– индекс качественной характеристики; имеет отношение к исходным видам сырья, материалов и к готовой продукции ( );

- индекс исходных компонентов смеси ( );

─ имеющийся объем -ой компоненты (сырья);

- содержание -той качественной характеристики в единице -го исходного компонента;

- содержание -той качественной характеристики в единице готовой смеси; для качественных характеристик, ухудшающих качество продукции, задается верхняя граница содержания той или иной качественной характеристики, а для качественных характеристик, улучшающих качество продукции, задается нижняя граница содержания той или иной качественной характеристики;

─ имеющийся ресурс -ой компоненты;

- цена единицы - ой исходной компоненты (включая расходы на переработку);

- количество - ой исходной компоненты, которое входит в готовую смесь.

─ общее количество готовой продукции, которое следует изготовить по плану.

Формализованная модель задачи оптимизации состава требуемого объема смеси представлена в (2.68) ÷ (2.72)

Целевая функция:

(2.68)

ограничения, ухудшающие качества:

(2.69)

ограничения, улучшающие качества:

(2.70)

ограничение по плану производства продукции:

(2.71)

ограничение по ресурсам:

(2.72)

Вторая разновидность смесевых задач касается оптимизации структуры готовой продукции, безотносительно к объемам. Рассмотрим пример такой задачи.

Пример 2.2. Пусть требуется изготовить некоторую единицу объема сплава, содержащего не менее 4% никеля, не более 75% железа и 20% прочих веществ. Известна стоимость различных видов сырья и процентное содержание в них соответствующих элементов (табл. 2.4)

Таблица 2.4

Определить оптимальную структуру сплава, при которой стоимость единицы сплава будет минимальной.

Математическая модель задачи:

(2.73)

; (2.74)

; (2.75)

(2.76)

; (2.77)

(2.78)

Экономико-математическая модель этой задачи будет включать выражения:

целевая функция:

(2.79)

ограничения на качество смеси:

(2.80)