Представление производственной функции.

Производственная функция ─ это математически выраженная зависимость между максимальным количеством полученного продукта Y и набором затраченных ресурсов x₁, x₂,….x_n за период времени для заданного множества технологий:

Y=f(x1, x2,….xn)

где Y — показатель, характеризующий результаты производства; x₁ — факторный показатель i-го производственного ресурса, п — количество факторных показателей.

При анализе производства с помощью набора затрат факторов в форме капитал – труд производственная функция системы связывает количество полученного продукта Y с затратами факторов труда L и капитала K за период времени

Y =f(L,K)

C точки зрения управленческого учета затраты труда представляют переменные издержки, а затраты капитала – постоянные издержки производства. Поэтому в краткосрочном периоде система производства может изменять только количество затрат труда, но не может изменить затраты капитала. В долгосрочном периоде возможно изменение количества двух факторов производства – как труда, так и капитала.

Производственная функция может быть задана четырьмя способами:

- в явном виде аналитически:

Y =f(L,K)

- в неявном виде аналитически:

F(L,K,Y)=0

- в табличном виде:

- или в графическом виде. Представление факторов производства в виде набора двух агрегированных факторов – капитала K и труда L дает возможность графического представления факторов и функции в виде точки на плоскости. В этом случае производственная функция представляет поверхность в трехмерном пространстве капитала, труда и объема выпуска продукции.

При условии выполнения сделанных предположений график двухфакторной производственной функции Y(K, L) имеет вид,

представленный на рис. 3.11:

Рис. 3.11 . График производственной функции

Возьмем точку Y_с, отражающую уровень производства Y_с. Проведем через эту точку плоскость, параллельную плоскости KOL и пересекающую производственную поверхность. Проекция линии пересечения на плоскость KOL называется изоквантой, или производственной кривой безразличия Y_с=F(K,L)=const.

Изокванта — геометрическое место точек, которым соответствует одинаковый уровень выпуска продукции.

Смысл изокванты состоит в том, что одно и то же количество продукции Y_с может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов производства К и L. Пример изокванты изображен на рис. 3.12:

Рис. 3.12 Представление изокванты

Пример 3.6Производственная система описывается

производственной функцией:

y(K,L)=10K^0.25L^0.75;

Найти уравнение изокванты при уровне производства 20 единиц продукта.

Запишем условие, определяющее изокванту при 20 единицах продукта:

10K^0.25L^0.75=20, или:

K^0.25L^0.75=2

K*L³=2⁴,

Окончательно находим уравнение изокванты:

K=16/L³.

Графическое представление технологии может быть представленов в виде карты изоквант, которая является проекцией линий уровня производственной функции на плоскость (K,L) .

Очевидно, что карта изоквант (рис. 3.13) очень похожа на карту кривых безразличия. Однако, в отличие от кривых безразличия, каждая изокванта представляет измеряемый и вполне определенный уровень выпуска. Изокванты не пересекают друг друга и они не пересекаются с осями координат.

3.13 Карта изоквант.

Проекции производственной функции на плоскости YOK и YOL образуют кривые, которые называются кривыми "затраты-выпуск". Графики кривых "затраты-выпуск" представлены на рис. 3.14a и 3.14б.

Рис.3.14 Примеры кривых "Затраты – выпуск"

Виды производственных функций (и их изокванты) могут различаться в зависимости от характера технологии, которая описывается той или иной функцией. В частности, для линейной производственной функции изокванты представляют прямые линии ( см. ниже п. 3.4).