Лекция 7. ВОЛНЫ

Плоская монохроматическая волна; волновое уравнение; волновой пакет;
дисперсия.

1. Плоская монохроматическая волна

Когда мы говорим о волнах, то представляем
себе прежде всего волны на поверхности воды,
или волны, бегущие в упругом шнуре при
периодическом сотрясении его конца. Какова бы,
однако, ни была природа волн, распространение
их следует одинаковым законам.

Волны бывают поперечные и продольные. В
поперечной волне частицы среды, в которой
распространяется волна, колеблются в
направлении, перпендикулярном направлению
распространения волны (волны на поверхности
воды, или волны, бегущие в упругом шнуре). В
продольной же волне направление колебаний
совпадает с направлением распространения волны
(звуковые волны в газе).

Рассмотрим простейший вид волн — плоские
монохроматические или гармонические волны -
и выберем направление распространения волн за
ось ОХ системы координат. Такие волны
представляются формулой

отклонение частицы от положения равновесия в
упругой волне, какая-нибудь составляющая
напряженности электрического или магнитного
поля в электромагнитной волне и т.д. Постоянная

Поверхность, во всех точках которой фаза
имеет одно и то же значение называется
волновой поверхностью. Очевидно, что в
рассматриваемом случае, когда фаза линейно
зависит от координаты х, такой поверхностью в
фиксированный момент времени t = t₀ будет
плоскость х = const, нормаль к которой совпадает
с направлением распространения волны (осью
ОХ). Поэтому и говорят, что выражение (7.1)
описывает плоскую волну.

Постоянная v, входящая в фазу, имеет
следующий смысл. Выберем какое-то
определенное значение фазы, и посмотрим, при
каких условиях оно будет сохранять одну и ту же
величину при изменении х и t. Очевидно, что для
постоянства фазы необходимо и достаточно,

Отсюда видно, что v есть скорость
перемещения плоскости равной фазы (волновой
поверхности), или фазовая скорость волны.

Так как t и х входят в аргумент периодической
функции, то волна должна обнаруживать
периодичность как во времени, так и в
пространстве. Вследствие периодичности во
времени должен существовать постоянный
промежуток времени Т (период колебаний),
удовлетворяющий условию

соотношение, связывающее фазовую скорость v с
длиной волны к и периодом колебаний Т.

Пусть теперь плоская волна распространяется
в произвольном направлении, образующем с

где

Уравнение волновой поверхности в этом
случае будет

Введем теперь вектор к, по направлению
совпадающий с положительной нормалью к
волновой поверхности, а по абсолютной величине
равный

так называемый оператор Лапласа. Тогда волновое
уравнение можно записать в более компактной
форме:

Компоненты этого вектора, который мы будем
называть волновым вектором,таковы

где г — радиус-вектор, проведенный из начала
координат в произвольную точку волновой
поверхности. При помощи (7.9) формула плоской
волны приводится к следующему компактному
виду:

2. Волновое уравнение

Рассмотренная в предыдущем разделе формула
плоской волны является частным решением
некоторого дифференциального уравнения,
называемого волновым уравнением.

Легко убедиться в том, что формула плоской
волны (7.10) удовлетворяет уравнению

Действительно, дифференцируя (7.10) дважды
по координатам и по времени, находим

Подставляя (7.12) в (7.11), получаем после
сокращений

Это уравнение называется еще уравнением
Д'Аламбера.

Волновое уравнение является линейным
однородным дифференциальным уравнением в
частных производных. Как всякое однородное
линейное уравнение оно обладает следующим

является его решением. В этом заключается
математическое обоснование известного

принципа суперпозицииволновых движений,
который позволяет при помощи наложения
плоских волн строить любые волновые поля.

3. Волновой пакет

Рассмотренные в предыдущем разделе плоские
волны в природе никогда не осуществляются. В
самом деле , по условию, эти волны представляют
строго периодический процесс, а для этого они
должны иметь бесконечное протяжение в
пространстве и во времени. Реальные же волны
всегда ограничены в пространстве и испускаются
в течение ограниченных промежутков времени, а
потому и не являются строго гармоническими.

Поэтому мы можем их рассматривать как
результат суперпозиции строго гармонических
плоских волн, которые в одной части
пространства усиливают друг друга, а в остальном
пространстве друг друга погашают (это явление
называется интерференцией волн).Такие
сложные волны имеют некоторые важные
особенности, которые мы выясним на примере
суперпозиции двух плоских гармонических волн.

Положим, что обе эти волны с одинаковой
амплитудой А распространяются вдоль оси ОХ и

Это важное соотношение, связывающее
частоту со с волновым числом к, характерно для
природы волны и называется дисперсионным
уравнением.

Вместо того, чтобы писать в левой части (7.11)
сумму вторых частных производных по
координатам, мы можем представить ее так: