Лекция 5. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Одномерный гармонический осциллятор; энергия гармонического осциллятора;
математический маятник; физический маятник.

1. Одномерный гармонический
осциллятор.

Колебания являются широко

распространенным видом движения и
наблюдаются в системах самой разнообразной
природы. Колебания относятся к процессам, точно
повторяющимся через одинаковый промежуток
времени Т_о, который называется периодом
колебаний.При механических колебаниях,
например, повторяются положения тел в
пространстве и их скорости. Электрические
колебания — это повторяющиеся изменения
напряжений и сил токов в электрических цепях.
Однако, несмотря на разную физическую
природу, в колебаниях проявляются одни и те же
закономерности, которые исследуются общими
методами.

Важной кинематической характеристикой
является форма колебаний. Она определятся
видом той функции времени t, которая описывает
изменение той или иной физической величины
при колебаниях. Наиболее важными (и наиболее
простыми) являются так называемые

гармонические колебания.Они описываются
гармоническим законом

Здесь x(t) характеризует изменение какой— либо
физической величины при колебаниях, например,
x(t) может быть смещением маятника от
положения равновесия, мгновенным значением
заряда на конденсаторе в электрическом
колебательном контуре или плотностью воздуха в
звуковой волне.

Система, закон движения которой имеет вид
(5.1) называется одномерным классическим
гармоническим осциллятором.Циклическая
частота со₀ связана с периодом колебаний по
формуле:

Полученное дифференциальное уравнение для
x(t)

свойству: колебания могут возникнуть в любой
системе, обладающей положением устойчивого
равновесия.При выводе системы из равновесия
она начнет колебаться около положения
равновесия (не обязательно, конечно, по
гармоническому закону!). Для механической
системы в положении равновесия сумма сил,

Рассмотрим одномерное (вдоль оси х)
движение материальной точки массой т,
обладающей положением устойчивого равновесия,
куда мы поместим начало координат х = 0. При
смещении частицы вправо на х на частицу
начинает действовать сила f_x = -f(x),
направленная к началу координат. Эта сила
называется возвращающей силой.Запишем
второй закон Ньютона (в проекции на ось х) для
нашей частицы:

Сравнивая полученное уравнение (5.7) с
уравнением гармонических колебаний (5.3), мы
видим, что материальная точка будет колебаться
около положения равновесия по гармоническому
закону (5.1) только в том случае, если
возвращающая сила линейно зависит от х:

f(x) = kx. (5.8)

где коэффициент пропорциональности к, который
определяется свойствами конкретной системы,
называется коэффициентом возвращающей силы.
При этом частота колебаний

2. Энергия гармонического
осциллятора.

Полная энергия одномерного гармонического
осциллятора

Если между f (х) их нет линейной зависимости,
колебания не будут гармоническими. Такие
колебания называются ангармоническими.Для
таких колебаний принцип суперпозиции не
выполняется, и мы не будем их рассматривать.
Особая важность гармонических колебаний
связана, как можно доказать, с тем, что любая
система будет колебаться по гармоническому
закону, если ее вывести из положения
устойчивого равновесия на очень маленькую
величину. Такие гармонические колебания
называются малыми.

Таким образом, мы показали, что частота и
период гармонического осциллятора не зависят от
начальных условий, а определяются только
свойствами конкретной механической системы —
ее массой и коэффициентом возвращающей силы
к.

Сравнивая (5.21) с (5.13), находим
коэффициент возвращающей силы

математического маятника при малых колебаниях: