Затухающие колебания. До сих пор мы рассматривали колебательное движение тела так, как если бы оно происходило совершенно беспрепятственно

До сих пор мы рассматривали колебательное
движение тела так, как если бы оно происходило
совершенно беспрепятственно. Однако, если
движение происходит в какой либо среде, то эта
среда оказывает сопротивление движению,
стремящееся замедлить его. Взаимодействие тела
со средой представляет собой сложный процесс,
приводящий, в конце концов, к переходу энергии
движущегося тела в тепло,— как говорят в
физике, к рассеяниюили диссипации энергии.
Этот процесс не является уже чисто
механическим и его детальное изучение требует
привлечения также и других разделов физики. С
чисто механической точки зрения он может быть
описан путем введения дополнительной (кроме
возвращающей) силы, появляющейся в результате
движения и направленной противоположно ему.
Эту силу называют силой трения. При достаточно
малых скоростях движения она пропорциональна
скорости тела, и ее проекция на ось х

где г — некоторая положительная постоянная,
характеризующая взаимодействие тела со средой,
а знак минус указывает, что сила направлена в
сторону, обратную скорости.

Выясним сначала, как влияет наличие такого
трения на колебательное движение. Будем считать
при этом, что сила трения настолько мала, что
вызываемая ею потеря энергии тела (за время
одного периода колебаний) относительно мала.

Потеря полной энергии тела Е определяется
как работа, произведенная силой трения. За время
dt эта работа, а с ней и потеря энергии dE, равна
произведению силы f_Tpx на смещение тела

где С = In Е_о и Е_о — значение энергии в
начальный момент времени (t = 0), находим
окончательно

Таким образом, энергия колебаний убывает
из— за трения по экспоненциальному закону.
Вместе с энергией убывает также и амплитуда
колебаний А. Поскольку энергия пропорциональна
квадрату амплитуды, то

амплитуда уменьшается в е раз; это время
называют временем жизни колебаний.Сделанное
нами выше предположение о малости силы трения

натуральный логарифм отношения амплитуды
колебаний в момент t к амплитуде колебаний,
взятой через период колебаний, то есть

Затухающие колебания характеризуются еще
одной величиной, которая называется
добротностьюQ. Добротностью называют

Добротность Q>>1 в силу нашего
предположения о малости затухания.

Трение влияет также и на частоту (и период)
колебаний. Замедляя движение, оно увеличивает
период, то есть уменьшает частоту колебаний.

Запишем теперь второй закон Ньютона для

Деля это уравнение на m и перенося все члены
уравнения в левую часть, получим

2. Вынужденные колебания.

Во всякой реальной колебательной системе
всегда происходят те или иные процессы трения.
Поэтому свободные колебания, возникающие в
системе под влиянием начального толчка, с
течением времени затухают.

Для того, чтобы возбудить в системе
незатухающие колебания, необходимо

компенсировать потери энергии, обусловленные
трением. Такая компенсация может производиться
внешними (по отношению к колебательной
системе) источниками энергии. Простейшим
случаем является воздействие на систему
переменной внешней силы f^BH, изменяющейся со
временем по гармоническому закону

в системе возникнут колебания, происходящие в
такт с изменением силы. Эти колебания
называются вынужденными.Движение системы
будет представлять собой, вообще говоря,
наложение обоих колебаний — собственных

система будет совершать лишь вынужденные
колебания.

Найдем уравнение вынужденных колебаний.
Для этого в уравнение (6.9) (второй закон
Ньютона) добавим вынуждающую силу (6.14):

— частота незатухающих колебаний. Полученное
уравнение называется уравнением затухающих
колебаний.Оно переходит в уравнение

Деля (6.15) на m и вводя прежние обозначения,
получим

Будем искать решение этого уравнения,
используя выражение (6.5) для амплитуды
колебаний, в виде

полученные выражения в (6.10), находим после
несложных преобразований, что выражение (6.11)
удовлетворяет уравнению затухающих колебаний,
если

Это и есть уравнение вынужденных
колебаний. Поскольку вынужденные колебания
происходят с частотой Q, будем искать решение
уравнения (6.16) в виде

Для их нахождения воспользуемся методом,
который называется методом векторных
диаграмм,удобным при сложении нескольких

то есть частота и период затухающих колебаний

В том случае, когда Р > со₀ (то есть движение
при достаточно большом трении), затухание
движения будет происходить монотонно без
колебаний. Такой процесс называется
апериодическим.

(на некотором вспомогательном чертеже —
векторной диаграмме) как проекцию на
горизонтальную ось ОХ радиуса — вектора,

течением времени вращается против часовой
стрелки вокруг точки О с угловой скоростью со.

Пусть теперь имеются два колебания,
происходящие в одном направлении

Для нахождения Аи ф строим на векторной
диаграмме два радиус-вектора длинами А, и А₂
(Рис.6.2) и находим их сумму по правилу сложения

векторов. Амплитудой А будет длина этого
суммарного вектора, а фазой <р — угол между
суммарным радиус-вектором и осью х. По
теореме косинусов

и изобразим его на векторной диаграмме (см.
рис. 6.3).