Потенциальные силы
Среди всех сил в природе существует целый класс сил (не изменяющихся со временем), обладающих следующим замечательным
свойством: если частица движется по замкнутому пути, так что в результате движения она возвращается в исходную точку, то работа, совершаемая при этом силой, будет равна нулю. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными,или потенциальными.Если
сила f консервативна, то математически условие потенциальности можно записать в следующем виде:
где кружок означает, что интеграл вычисляется по замкнутому пути L.
Кстати, интеграл типа (4.11) для произвольного
вектораА по замкнутому контуру L. Таким
образом, сила f потенциальна, если ее циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю.
Условие потенциальности можно
сформулировать другим способом: работа консервативной силы при переносе частицы из какой-то начальной точки 1 в конечную 2 не зависит от вида пути, по которому происходит перенос, а определяется только положением начальной и конечной точек.
Действительно, рассмотрим две точки 1 и 2 и соединим их двумя кривыми а и b (рис.4.2). Предположим, что частица переводится из точки 1
обозначим через О, за начало отсчета и будем рассматривать работу консервативной силы при переходе частицы из какой-либо произвольной точки P(x,y,z) в точку О (рис.4.3). Величина этой работы называется потенциальной энергией частицы.находящейся в точке Р, в потенциальном силовом поле.
Она является функцией координат х, у, z точки Р в неподвижной системе отсчета, т.е.
Работа консервативной силы ? (рис.4.3) при переходе частицы из точки 1 в точку 2 (работа не зависит от пути!):
т.е. работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии.
Это значит, что проекция силы на некоторое направление s равна производной от U по направлению s. Выражение (4.15) можно записать в виде
откуда следует ( поскольку dU является полным дифференциалом), что
лежит ниже нулевого уровня, z<0 и потенциальная энергия отрицательна.
Пусть теперь имеются две частицы Мит, которые притягиваются друг к другу силой
частицы m в точке Р, расположенной на расстоянии г от М. Нулевой уровень выбираем на бесконечном расстоянии от частицы М. Тогда
Тогда (4.17) принимают вид:
| Такие фундаментальные силы в природе, как гравитационная и электрическая, являются силами консервативными, для которых можно ввести соответствующие потенциальные энергии. Так, например, если частица m находится вблизи поверхности Земли, то на нее действует гравитационная сила тяжести mg, являющаяся консервативной.
Выбираем точку О (начало отсчета потенциальной энергии) на какой-то высоте над поверхностью Земли и находим потенциальную
Такое же выражение мы получим, если зафиксируем частицу m и будем перемещать на бесконечность частицу М, поэтому потенциальная энергия (4.21) называется потенциальной энергией гравитационного взаимодействиядвух частиц m и М. Она обращается в нуль, когда частицы удалены друг от друга на бесконечно большое расстояние. Эта же формула остается справедливой, если частица m находится вне однородного шара массой М (например, планеты). В этом случае г — расстояние от частицы m до центра шара.
Сила упругости пружины f = kx тоже является консервативной. Нетрудно показать, что потенциальная энергия деформированной пружины
энергию частицы в произвольной точке P(z) (рис.4.5) как работу постоянной силы mg , направленной вертикально вниз, при
перемещении частицы из точки Р в точку О по любому пути. Выбираем путь РАО. Тогда
так как АРА = mgz и ААО = 0 (здесь сила перпендикулярна перемещению). Если точка Р
Причем нулевому уровню, как видно из (4.22), соответствует состояние, когда пружина недеформирована, т.е. когда х = 0.
|