Исследование системы на устойчивость

Под устойчивостью системы понимается ее способность переходить в новое установившееся состояние при изменении задания или нагрузки и возвращаться в исходное состояние после снятия возмущения.

Об устойчивости замкнутых систем управления судят по АФХ разомкнутой системы.

После определения настроек регулятора исследуем данную АСР на устойчивость, а также определим запас устойчивости системы по модулю и по фазе, используя частотный критерий Найквиста-Михайлова. Для этого сначала рассчитаем АФХ регулятора:

. (34)

Разделив W(jw) на вещественную и мнимую части, получим:

(35)

(36)

АФХ разомкнутой системы получим как произведение АФХ объекта и регулятора:

. (37)

Разделим W_раз(jw) на вещественную и мнимую части:

P_раз(w) = P(w)P_р(w) – Q(w)Q_p(w), (38)

Q_раз(w) = Q(w)P_p(w) + P(w)Q_p(w). (39)

Значения P_раз(w) и Q_раз(w) приведены в таблице 3.14.

Таблица 3.14 – Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой АСР

Продолжение таблицы 3.14

По полученным данным таблицы 3.14 строю АФХ разомкнутой АСР на комплексной плоскости, рисунок 3.28.

Рисунок 3.28 – Определение устойчивости АСР по частотному критерию Найквиста-Михайлова

Годограф Найквиста не охватывает точку на комплексной плоскости

(-1; j0), поэтому система в замкнутом состоянии устойчива и имеет значительный запас устойчивости по амплитуде C = 0,5 и по фазе γ=59º.

Проверим рассчитанную АСР на устойчивость с помощью подпрограммы MATLAB 6.5 и пакета Control System Toolbox.

В рабочем окне программы вводим специальные команды, задаем передаточную функцию объекта управления, ПИД-регулятора и охватываем объект обратной связью.

С помощью встроенных средств программы Matlab строю годограф Найквиста, рисунок 3.29.

Листинг команд, использованных при работе с MATLAB, представлен ниже:

Задаю передаточную функцию объекта регулирования:

>> w1=tf(0.91,[5.732 1],'inputdelay',0.897)

Transfer function:

0.91

exp(-0.897*s) * -----------

5.732 s + 1

Задаю звено запаздывания объекта управления:

>> w2=pade(w1,1)

Transfer function:

-0.91 s + 2.029

--------------------------

5.732 s^2 + 13.78 s + 2.23

Задаю передаточную функцию ПИД – регулятора:

>> pid=tf([9.553 32.828 7.681],[4.274 0])

Transfer function:

9.553 s^2 + 32.83 s + 7.681

---------------------------

4.274 s

Передаточная функция разомкнутой АСР:

>> W=w1*w2*pid*0.2

Transfer function:

-1.582 s^3 - 1.909 s^2 + 10.85 s + 2.836

exp(-0.897*s) * ----------------------------------------

140.4 s^4 + 362.1 s^3 + 113.5 s^ + 9.53 s

Строим годограф Найквиста:

>> nyquist(W)

Рисунок 3.29 – Годограф (диаграмма) Найквиста

Как видно из рисунка, годограф не охватывает точку с координатой (-1; j0), значит, система устойчива. Система имеет значительный запас устойчивости по амплитуде и фазе .

Запас устойчивости по амплитуде и по фазе часто определяется по графикам Боде, рисунок 3.30.