Различают три основных способа задания функции.

1. Аналитический. Функция определяется с помощью формулы , которая указывает, какие действия и в каком порядке следует произвести над аргументом , чтобы вычислить значение функции. При этом область определения функции либо непосредственно задаётся, либо предполагается, что она включает в себя все те значения аргумента , для которых данная формула имеет смысл.

Пример 1.1.

(а) . Здесь область определения функции задана в виде множества ;

(б) Здесь функция определяется той же формулой, что и предыдущая, однако область определения её специально не задана. Поскольку выражение имеет смысл при любом действительном , то областью определения данной функции является вся числовая ось. Подчеркнём, что в данном примере представлены две разные функции !

Пример 1.2. . Область определения не задана, но находится из условия , т.е. является интервалом .

Пример 1.3. .

Здесь закону соответствует формула, задаваемая двумя разными аналитическими выражениями в зависимости от диапазона измерения . График такой функции имеет вид: (см. рис. 1.1).

Пример 1.4. . Эта формула не задает функцию!

В самом деле, переменной соответствует не одно, а два значения , что противоречит определению функции.

2. Графический. Функция задаётся только с помощью своего графика, причём каждое её значение для соответствующего значения аргумента вычисляется согласно этому графику. Обычно такой способ задания функции реализуется с помощью самопишущих приборов.

3. Табличный. Если данные эксперимента по изучению какого-либо явления поместить в таблицу, то она будет выражать функциональную зависимость между измеряемыми величинами. Такова, например, таблица измерений комнатной температуры в определённые моменты времени

, т.е. .

Важным частным случаем функции является числовая последовательность.

Определение. Последовательностью называется функция, область определения которой есть множество натуральных чисел .

Последовательность обозначается или , что означает: , при этом величины называются членами последовательности с номерами , а выражение называется общим членом последовательности.

Пример 1.5.

(а)

(б)

(в)

Определение. Функция называется возрастающей на множестве (например, отрезке ), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

для выполняется .

Аналогично определяется убывающая на функция:

для выполняется .

Только убывающая или только возрастающая на функция называется монотонной на .

Примеры.

1. - площадь круга является возрастающей функцией его радиуса .

2. - убывающая последовательность.

Определение. Функция с областью определения называется периодической, если существует число , такое, что для всякого , для которого выполняется: . При этом наименьшее из таких положительных чисел называется периодом.

Примером периодических функций могут служить тригонометрические функции (они рассмотрены ниже).

Определение. Пусть функция такова, что каждому значению переменной из множества значений соответствует один и только один аргумент из области определения . Тогда можно рассмотреть как аргумент, а - как функцию . Такая функция называется обратной к функции .

Обратная функция существует не для всякой , однако, для возрастающей или убывающей функции всегда существует обратная.

Пример 1.6.

(а) ; для неё существует обратная:

(б) ; для неё обратной не существует, поскольку, например, значению соответствуют два значения: и .

1.2. Основные элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие, заданные аналитически, функции.

1. Константа (т.е. постоянная) : , - некоторое число.

Её область определения – вся числовая ось.

2. Степенная функция : - некоторое число.

График этой функции и её область определения зависят от числа . Приведём лишь некоторые характерные графики при различных .

- целое, нечетное; - целое, четное; ;

; ; ;

3. Показательная функция:

5. Тригонометрические функции:

, период обеих функций равен ;

, область определения - вся числовая ось за исключением точек

, период равен ;

, область определения – вся числовая ось за исключением точек

, период равен ;

6. Обратные тригонометрические функции:

Определение. Пусть переменная является функцией аргумента , который, в свою очередь, зависит от переменной . Тогда переменная является функцией , обозначается и называется функцией от функции или сложной функцией. При этом её область определения содержит лишь те значения , для которых соответствующие значения определены и входят в область определения функции

Пример 1.7. Пусть , , тогда - сложная функция , область определения которой находится из условия : , т.е. , т.е. представляет собой множество интервалов:

,

Сложную функцию можно сконструировать несколькими операциями взятия функции от функции.

Пример 1.8. Пусть , , , ,

, тогда получается сложная функция :

.

Определение. Элементарной функцией называется такая функция, которая может быть задана формулой , содержащей только одно аналитическое выражение, составленное из основных элементарных функций с помощью конечного числа операции сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Примером элементарной функции может служить: