Глава 2. 2.1. Предел функции, односторонний предел

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

2.1. Предел функции, односторонний предел. Предел последовательности.

Определение. Число называется пределом функции в точке (или пределом при ), если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки;

2) для любого, сколько угодно малого, числа существует такое, зависящее от , число , что для всех , удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство или, что в силу свойств модуля, то же самое, для всех , удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство: .

При этом используется обозначение:

или при (2.1)

Факту существования предела функции (2.1) можно дать следующую графическую интерпретацию. Какой бы малой ни была - окрестность точки на оси ординат, всегда найдётся такая - окрестность точки на оси абсцисс, что для всех , попавших в нее (за исключением, быть может, самой точки ) точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и (рис.2.1).

Чем меньше ширина этой полосы, тем, вообще говоря, уже следует брать интервал .

Важно подчеркнуть, что предел функции в точке и её значение в этой точке – вещи разные и, более того, для существования предела в точке совсем не обязательно, чтобы функция вообще была в ней определена.

Пример 2.1. Проиллюстрируем сказанное на примере трёх функций:

; ;

Они отличаются друг от друга только в одной точке , причём определена для всех кроме , а и определены на всей числовой оси, но при этом , . Тем не менее, как видно из графиков этих функций, все они в точке имеют один и тот же предел:

при том, что ;

Определение. Пусть функция определена на некотором интервале , где . Число называется пределом функции при слева, если для любого, сколь угодно малого, числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется неравенство . При этом используется обозначение или :

(2.2)

Определение. Пусть определена на интервале .

Число называется пределом при справа, если для любого, сколь угодно малого, существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию выполняется . При этом используется обозначение или :

(2.3)

Предел справа и слева называются односторонними пределами.

Пример 2.2. , ; , при этом - не существует.

Необходимо отметить, что если в точке пределы справа и слева существуют и равны между собой, то тогда в точке существует предел , причем

(2.4)

Верно и обратное утверждение.

Введём понятие предела при .

Пусть - область определения функции .

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого, сколь угодно малого, найдётся такое, зависящее от , число , что для всех , удовлетворяющих условиям: , , выполняется неравенство . При этом используется обозначение:

или при (2.5)

Существование предела подобного рода можно проиллюстрировать следующим образом.

Чем уже эта полоса, тем, вообще говоря, больше следует брать число .

Совершенно аналогично определяется предел при :

(2.6)

с той лишь разницей, что неравенство должно выполнятся при условии , . В случае же, когда указанное неравенство выполняется при , пишут

(2.7)

Пример 2.3. ; ; , что нетрудно видеть, исходя из графической интерпретации понятия предела и графиков этих функций. Исходя из этого же, видно, что предел функции ни при , ни при не существует.

Рассмотрим важный частный случай функции – последовательность . Её область определения и, согласно общему определению предела функции при , можно ввести соответствующее понятие отдельно для последовательности.

Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого, сколь угодно малого, существует такой зависящий от , номер что для всякого выполняется неравенство , или, что то же самое, .

Обозначается предел последовательности так:

(2.8)

Пример 2.4. ; ; .

На основании графической интерпретации понятия предела, а также на основании самого определения функции, согласно которому каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции, можно сделать важный вывод о том, что если предел при , , (соответственно, предел последовательности при ) существует, то он единственный.

2.2. Понятия бесконечно малой и бесконечно большой функций.
Ограниченная функция.

Определение. Функция называется бесконечно малой при , если .

Совершенно аналогично определяется бесконечно малая при , , , .

Пример 2.5.

а) - бесконечно малая при , поскольку .

б) - бесконечно малая при , т.к. .

Пусть определена в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой точки .

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если для любого, сколь угодно большого, числа найдётся такое, зависящее от , число , что для всех , удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство (что означает либо , либо ).

Такой факт записывается в форме

(2.9)

Если при всех указанных выше условиях принимает только положительные значения, то пишут

(2.10)

если же только отрицательные, то

(2.11)

Подчеркнём, что равенства (2.9) - (2.11), хотя и содержат символ « », означают, что при предела не имеет, но является бесконечно большой.

Пример 2.6.

а) - бесконечно большая при х ® 1, т.е. .

б) - бесконечно большая при х ® 2, причём .

На рисунке 2.5. представлены графические интерпретации понятия бесконечно большой функции.

Бесконечно большая функция при , , , определяется аналогично. Используя математические обозначения, можно

, ,

, ,

(2.12)

Читателю предлагается самому дать графическую интерпретацию для каждого из этих вариантов.

Пример 2.7.

а) , , .

б) , , .

Определение. Функция называется ограниченной в заданной области изменения аргумента , если существует число , такое, что

при всех (2.13)

Определение. Функция называется ограниченной при , если существует окрестность, содержащая точку , в которой данная функция ограничена. Точно так же называется ограниченной при , , , , если существует правая полуокрестность точки (соответственно, левая полуокрестность , интервал , интервал , - некоторое число), где данная функция ограничена.

Пример 2.8.

а) - ограничена во всей области определения , поскольку для .

б) - ограничена на всей числовой прямой.

в) - ограничена на любом интервале , где .

В дальнейшем будем использовать общее обозначение , подразумевая при этом один из вариантов: , , , , , . Под окрестностью точки будем понимать, соответственно, окрестность , правую или левую полуокрестность , интервал , , или же объединение интервалов .