Сравнение бесконечно малых.

Пусть и - бесконечно малые функции при .

Определение. Функции и называются бесконечно малыми одного и того же порядка малости при , если существует и отличен от нуля.

Пример 2.19. , - бесконечно малые одного порядка при , т.к. .

Определение. и называются эквивалентными бесконечно малыми при , если .

Эквивалентность и обозначается символом при . На основании приведённых выше примеров и согласно определению первого замечательного предела можно записать:

, , при (2.22)

Определение. называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем при , если и более низкого порядка малости, чем при , если ;

и называются несравнимыми бесконечно малыми при , если не существует.

Пример 2.20. более высокого порядка малости, чем при и, соответственно, более низкого порядка, чем при , поскольку , .

Пример 2.21. и несравнимые бесконечно малые при , поскольку при предела не имеет.

Теорема. Пусть , при и существует. Тогда существует предел отношения , причём .

Пример 2.22.

, т.к. , , при .

Теорема. Сумма конечного числа бесконечно малых при функций

различных порядков эквивалента слагаемому самого низкого порядка.

Пример 2.23.

а) при

б) при

Пример 2.24. Вычислить

Решение: Числитель эквивалентен , а знаменатель эквивалентен , следовательно, искомый предел равен .