Глава 3. 3.1. Непрерывность функции в точке

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

3.1. Непрерывность функции в точке. Разрывная функция. Классификация точек разрыва.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если:

1) определена в точке и в некоторой её окрестности.

2) Существует предел ;

3) Этот предел равен значению функции в точке :

(3.1)

Пример 3.1. Функция непрерывна в точке , поскольку и (т.е. выполняются условия непрерывности).

Пример 3.2. Эта функция не является непрерывной в точке , так как не выполняется третье условие в определении непрерывности.

Определение Функция называется непрерывной в точке справа (слева) если:

1) определена в точке и в некоторой её правой (левой) полуокрестности;

2) существует предел справа (слева );

3) (3.2)

Пример 3.3.

Функция в точке не является непрерывной, поскольку нарушено второе условие, однако в этой точке она непрерывна справа.

Определение Пусть определена в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой этой точки. Точка называется точкой разрыва функции , если в ней нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции, т.е. либо значение неопределено, либо не существует , либо этот предел не равен .

Определение Пусть - точка разрыва функции . Если существуют конечные пределы справа и слева:

, , то называется точкой разрыва первого рода.

Заметим, что при этом значение либо не определено, либо не все три числа равны между собой.

Если - точка разрыва первого рода и при этом , то называется точкой устранимого разрыва функции . Подчеркнём, что для непрерывности в точке необходимо и достаточно, чтобы:

(3.4)

Пример 3.4. Функция имеет в точке разрыв первого рода, поскольку , т.е. , .

Пример 3.5. Функция в точке имеет устранимый разрыв, поскольку значение неопределено и при этом . Если доопределить данную функцию в точке , приняв , получим непрерывную функцию.

Определение. Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва второго рода.

К ним относятся точки, в которых левый или правый пределы не существуют и, в частности, какой-либо из них равен (в последнем случае точка называется точкой бесконечного разрыва).

Пример 3.6. Функция в точке имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Пример 3.7. Функция в точке не имеет ни правого, ни левого предела, поскольку при или она колеблется между значениями 1 и –1 (рис.3.2.).

Следовательно, данная функция в точке имеет разрыв второго рода.

3.2. Теоремы о непрерывных функциях

Теорема. Пусть функции и непрерывны в точке , тогда их сумма и произведение непрерывны в точке . Если, кроме того, , то их частное также непрерывно в этой точке.

Теорема. Пусть функция непрерывна в точке , а непрерывна в точке , тогда сложная функция непрерывна в точке .

Эти две теоремы приводят к важному следствию: всякая элементарная функция непрерывна в своей области определения.

Такое утверждение даёт возможность при вычислении предела элементарной функции при в случае, когда эта функция определена в точке , воспользоваться формулой

(3.5)

Пример 3.8. , поскольку функция непрерывна.

Пример 3.9. Вычислить (здесь имеет место неопределённость типа ).

Решение. и поскольку функция непрерывна при z > 0 и при , то . Вывод: при .

3.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Определение. Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке , , если она непрерывна на интервале и при этом непрерывна в точке справа, а в точке слева.

Перечислим свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. Если непрерывна на , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.

Это означает, что на найдутся такие точки и , что для всех , при этом - наибольшее, а - наименьшее значение на (рис.3.3).

2. Если функция непрерывна на и на концах его принимает значения разных знаков, то тогда найдётся по крайней мере одна точка внутри этого отрезка, в которой функция обращается в ноль: (рис.3.4).

3. Пусть функция непрерывна на отрезке , причём на его концах принимает разные значения и , . Тогда каково бы ни было число , заключенное между и , найдётся такая точка внутри , что (рис.3.5).