Глава 5. 5.1. Возрастание и убывание функций.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.

5.1. Возрастание и убывание функций.

Теорема. (необходимые условия возрастания (убывания) функции).

Если функция , дифференцируемая на интервале , возрастает (убывает) на , то для .

Теорема. (достаточные условия возрастания (убывания) функции).

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причём для , то эта функция возрастает (убывает) на .

Пример 5.1. . Эта функция дифференцируема на всей числовой прямой, . Исследуя знак убеждаемся, что для или и для . Следовательно возрастает на множестве и убывает на интервале .

Пример 5.2. . Эта функция непрерывна и дифференцируема всюду кроме точки , в которой она не определена.

Поскольку для , то убывает на , а также на . Заметим, что утверждать, будто убывает всюду в своей области определения было бы ошибкой ( см. график этой функции в разделе 1.2 ).

5.2. Экстремумы функций. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Определение. Функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всякой точки из этой окрестности, отличной от , справедливо неравенство (соответственно ).

Максимум или минимум называется экстремумом функции , а точка - точкой экстремума (максимума или минимума).

Замечание. Не следует путать максимум (минимум) функции с её наибольшим (наименьшим) значением, например, на отрезке .

Так, непрерывная функция, изображенная на рис. 5.1, имеет в точках и - максимум, а в точках и - минимум, причём , а своего наибольшего и наименьшего значения данная функция достигает вообще на границах отрезка .

Определение. Точка , в которой производная функции равна нулю или терпит разрыв (при этом не существует) называется критической (или критической точкой первого рода). Критическая точка , в которой , называется стационарной.

Теорема. (Необходимые условия существования экстремума).

Если функция непрерывна на отрезке и имеет в его внутренней точке экстремум, то точка является критической.

Обратное утверждение неверно.

Теорема. (достаточные условия существования экстремума, или его отсутствия). Если существует окрестность , критической точки , в которой функция непрерывна всюду, и дифференцируема всюду, кроме, возможно , самой точки , причём

при , (5.1)

при ,

то - точка максимума (минимума). Если же сохраняет знак во всей окрестности , кроме, возможно, точки , то в этой точке не имеет экстремума.

Иногда бывает удобно воспользоваться другим достаточным условием существования (или отсутствия) экстремума.

Теорема. Если

и , (5.2)

то - точка максимума (минимума) функции .

Если же , , , то в точке функция не имеет экстремума.

Пример 5.3. .

У этой непрерывной функции одна критическая точка , в которой не существует, причём для , для и, согласно условиям (5.1), - точка минимума данной функции (рис.5.2).

Пример 5.4. . Функция дифференцируема всюду. Поскольку , то - единственная критическая (стационарная) точка; как справа, так и слева от точки , следовательно, в этой точки нет экстремума.

Пример 5.5. . Производная этой функции не существует в точке . В этой же точке терпит разрыв второго рода и сама функция ( при ), т.е. условия её непрерывности в критической точке не выполняются. Неправомерное использование достаточного признака экстремума (5.1):

при и при привело бы к ошибочному выводу о том, что - точка максимума данной функции (см. её график в разделе 1.2)

Пример 5.6. . Функция непрерывна на ;

.

Критические точки и , т.к. , а не существует. Нетрудно убедиться, что, согласно условиям (5.1), - точка максимума, а - точка минимума данной функции.

Отметим, что в стационарной точке исследование на экстремум можно провести и с помощью второй производной (условие(5.2)):

, т.е. и, следовательно - точка максимума.

Теорема. Функция , непрерывная на отрезке , достигает своего наибольшего (наименьшего) значения, либо в критических точках, либо на концах отрезка .

5.3. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

Определение. График дифференцируемой на функции называется выпуклым вверх (выпуклым вниз) на , если он расположен ниже (выше) своей касательной, проведенной в любой своей точке , (рис.5.3)

Теорема. (достаточный признак характера выпуклости).

Пусть функция имеет на вторую производную.

Если при любом

, (5.3)

то график этой функции является на выпуклым вверх (вниз).

Определение. Точка графика непрерывной функции , которая отделяет его выпуклую вверх часть от выпуклой вниз, называется точкой перегиба.

Определение. Точка , в которой вторая производная функции обращается в ноль или терпит разрыв (при этом не существует), называется критической точкой второго рода.

Теорема. (необходимые условия существования точки перегиба). Если - точка перегиба графика непрерывной на функции , то абсцисса является критической точкой второго рода.

Теорема. (достаточные условия существования точки перегиба, или её отсутствия). Пусть существует окрестность , критической точки второго рода, в которой функция всюду непрерывна и имеет вторую производную везде, кроме, возможно, самой точки . Пусть при этом в интервалах и вторая производная сохраняет постоянные знаки. Если эти знаки противоположные, то точка графика функции с абсциссой является точкой перегиба, если же эти знаки одинаковые, то указанная точка точкой перегиба не является.

Пример 5.7. . Найдём , . Функция всюду дифференцируема, точка - единственная критическая точка второго рода: . Поскольку при и при , то - абсцисса точки перегиба. Её ординатой будет , т.е. - точка перегиба, причём для график выпуклый вверх, для - выпуклый вниз.

Пример 5.8. . Функция всюду непрерывна.

Найдём , , откуда видно, что - критическая точка второго рода, т.к. не существует. Поскольку для и для , то - точка перегиба, причём для график выпуклый вниз, а для - выпуклый вверх.

5.4. Асимптоты графика функции. Общее исследование функций и построение графиков.

Определение. Пусть точка перемещается по графику функции , неограниченно удаляясь от начала координат. Если при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к нулю, то такая прямая называется асимптотой графика функции .

Теорема. (о вертикальных асимптотах).

Если существует такое число , что

, (5.4)

то прямая является вертикальной асимптотой графика функции . И обратно: если - вертикальная асимптота, то выполняется (5.4).

Пример 5.9. ; вертикальная асимптота – ось .

Теорема. (о наклонных асимптотах). Если для функции существуют пределы:

; , (5.5)

то прямая является правой наклонной асимптотой, т.е. асимптотой при .

Если существуют пределы:

; , (5.6)

то прямая является левой наклонной асимптотой, т.е. асимптотой при .

Важно подчеркнуть, что если график функции имеет правую (левую) асимптоту, то она единственная. Вертикальных же асимптот может быть даже бесконечно много, так, например, для графика функции асимптотами являются вертикальные прямые .

Пример 5.10. . Вертикальной асимптотой будет ось , т.к. при .

Наклонные асимптоты найдём из соотношений (5.5), (5.6):

,

, т.е. правая наклонная асимптота: , она же будет и левой наклонной асимптотой, т.к. при значения соответствующих пределов не изменятся.

Пример 5.11. , . Вертикальной асимптотой будет ось , т.к. при . Ищем наклонную асимптоту:

, т.е. наклонной асимптоты нет.

При общем исследовании функции и построении её графика рекомендуется следующий порядок действий.

1. Найдите её область определения, точки разрыва и интервалы непрерывности.

2. Найдите асимптоты графика функции.

3. Найдите интервалы возрастания и убывания функции.

4. Найдите точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

5. Исследуйте характер выпуклости (найдите интервалы выпуклости и точки перегиба).

6. На основании результатов проведённого исследования постройте график функции. При этом, если возможно, найдите точки его пересечения с осями координат.

Отметим, что учёт свойств симметрии графика относительно осей или начала координат, а также периодичности функции (если таковые имеются) может существенно облегчить процесс исследования.

Пример 5.12. Исследовать функцию и построить её график.

1. Область определения , - единственная точка разрыва (второго рода): при .

2. Асимптоты:

а) вертикальная - ось ;

б) правая наклонная:

; , – правая наклонная асимптота.

в) Вычисления при показывают, что также и левая наклонная асимптота.

3. Интервалы возрастания и убывания. .
возрастает на и на ; убывает на .

4. Экстремумы. - точка минимума, .

5. Выпуклость. , , выпуклость вниз на и на .

6. Точки пересечения с осями координат: , следовательно

- абсцисса точки пересечения с осью .