Глава 4. 4.1. Понятие производной, её физический и геометрический смысл

ПРОИЗВОДНАЯ

4.1. Понятие производной, её физический и геометрический смысл. Дифференциал функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Рассмотрим значения этой функции в двух близлежащих точках: исходной (фиксированной) и новой (переменной) , такой, что отрезок (или отрезок , если ) целиком лежит в области определения (рис.4.1).

Определение. Величина называется приращением аргумента в точке , а величина - приращением функции в точке . При этом может быть как положительным, так и отрицательным.

При фиксированном величина будет функцией .

Рассмотрим отношение .

Определение. Если существует предел отношения приращения функции в точке к приращению аргумента в этой же точке при , то такой предел называется производной функции в точке и обозначается или :

(4.1)

Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке, а процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Замечания:

1) В определении производной может быть как положительным, так и отрицательным;

2) зависит от точки , т.е. является функцией , поэтому в обозначении производной в качестве аргумента пишут , т.е. или ;

3) Можно показать, что если дифференцируема в точке , то она в ней непрерывна (обратное утверждение неверно).

Определение. Функция называется дифференцируемой на интервале , если она дифференцируема в любой точке этого интервала.

Пример 4.1. Пусть , тогда , т.е. для .

Пример 4.2. . Покажем, что в точке производная этой функции не существует. Рассмотрим выражение:

, т.е. это выражение при предела не имеет (см. замечание 1 к определению производной). Заметим что данная функция при дифференцируема, причём .

Физический смысл производной. Рассмотрим функцию , дифференцируемую в точке (рис. 4.1). Отношение является средней скоростью изменения этой функции на отрезке (или , если ). Тогда, согласно (4.1), представляет собой скорость изменения функции в точке (т.е. «мгновенную» скорость).

Пример 4.3. При свободном падении с нулевой начальной скоростью зависимость пути от времени выражается функцией , где . Найдём закон изменения скорости от времени при таком движении.

Поскольку, исходя из физического смысла производной , следует при любом фиксированном составить отношение и перейти к пределу при .

;

. Итак, установлено, что скорость увеличивается пропорционально времени . Так, например, в момент мгновенная скорость падения будет .

Геометрический смысл производной. Рассмотрим - секущую графика функции (рис.4.1), угловой коэффициент которой .

Определение. Касательной в точке к графику функции называется прямая, проходящая через и являющаяся предельным положением секущей при устремлении точки по графику к точке с любой стороны.

При этом , , , а угол между и касательной стремится к нулю.

В силу данного определения и определения производной

(4.2)

т.е. производная в точке является угловым коэффициентом касательной к графику функции в точке . Заметим, что если не дифференцируема при , то в соответствующей точке график этой функции не имеет касательной.

Согласно формуле (4.2), уравнение невертикальной касательной к графику функции в точке , где , имеет вид

(4.3)

Для невертикальной нормали к графику функции в точке (т.е. прямой, проходящей через перпендикулярно касательной) получим уравнение.

, (4.4)

Пусть имеет в точке производную . Зафиксируем эту точку и рассмотрим малое приращение в точке (рис.4.1). Согласно определению производной (4.1), а также свойству 1 бесконечно малых функций, можно записать:

, где при ,

т.е. бесконечно малая функция при , откуда получим

. (4.5)

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть её приращения в этой точке, линейная относительно :

. (4.6)

Если , то величина в выражении (4.5) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с главной частью приращения.

Дифференциал зависит как от самой точки , так и от приращения и в выражении (4.6) обычно заменяется переменной : .

Рассмотрим функцию вида . Поскольку при всех , как было показано в примере (4.1), то для такой функции , т.е.

(4.7)

Таким образом, дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением. С учётом этого можно записать:

или (4.8)

Из формул (4.8), с учётом геометрического смысла производной (рис.4.1), ясен геометрический смысл дифференциала: в точке есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке , соответствующее приращению аргумента .

4.2. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производная обратной функции.

На основании определения производной и теорем о вычислении пределов (раздел 2.3), можно установить следующие правила дифференцирования.

Пусть и дифференцируемы в точке . Тогда в той же точке дифференцируемы их сумма, произведение, а если , то и частное , причем

1). , ;

2). , ; (4.9)

3). , , .

4). Производная сложной функции. Пусть функция дифференцируема в точке , а дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке , причём

или (4.10)

Основываясь на определении производной, правилах вычисления пределов, а также правилах (4.9) и (4.10), можно найти производные основных элементарных функций:

1. , ;

2. , , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

, ; (4.11)

6. , , ;

, ;

7. , ;

8. , .

Из правила 2 и соотношения 1 формул (4.11) следует

5) , ,

а из правила 1 и предыдущего правила следует

6) , ;

Пример 4.4. Найти производные функций:

(а) , .

(б) ,

(в) , ;

(г) . Эта функция сложная: , .

Поскольку , , то согласно (4.10), получим:

(д) . Перепишем функцию в форме

, откуда

т.е. для всех , отличных от нуля.

Производная обратной функции. Пусть для функции существует обратная , причём существует и отлична от нуля. Тогда в точке существует производная обратной функции , причём

или (4.12)

Пример 4.5. Найдём производную функции , которая является обратной для функции при , причём в интервале . Согласно (4.12), , а так как при , , то .

Проводя аналогичные выкладки, таблицу производных можно дополнить:

9. , ;

10. , ; (4.13)

11. , ;

12. , .

4.3. Производная функции, заданной параметрически. Производная неявной функции. Производные высших порядков.

Определение. Говорят, что функция задана параметрически, если она определяется двумя функциями аргумента , называемого параметром:

(4.14)

и при этом для функции существует обратная . Параметр существует на некотором множестве (например, на отрезке ).

Заметим, что если обратить первое соотношение (4.14) и подставить этот результат во втором соотношение, получится равенство, определяющие сложную функцию в форме

(4.15)

Если и дифференцируемы в некоторой области изменения , причём , то производная находится по формуле:

. (4.16)

Как видим, для того, чтобы найти , вовсе незачем обращать функцию и строить соотношение (4.15).

Пример 4.6. , ( - некоторые числа).

Согласно (4.16)

.

Определение. Пусть переменные и связаны уравнением

. (4.17)

Если каждому значению переменной , изменяющейся на множестве (например, интервале или отрезке) соответствует одно и только одно значение , удовлетворяющее вместе с уравнению (4.17), то говорят, что это уравнение определяет неявную функцию .

Заметим, что одно уравнение (4.17) может определять не одну, а несколько неявных функций. Заметим также, что далеко не всегда уравнение (4.17) можно разрешить относительно .

Пример 4.7.

Для того, чтобы найти производную неявной функции, совсем не обязательно разрешать уравнение (4.17) относительно . Для этого достаточно воспользоваться следующей методикой:

1) Вычислить производную по левой части (4.17) как производную сложной функции ;

2) Приравнять эту производную нулю: ;

3) Разрешить получившееся уравнение относительно , при этом будет зависеть как от , так и от .

Пример 4.8. , где - некоторое число;

, откуда

Определение. Производная от производной функции называется второй производной (или производной второго порядка) этой функции. Её обозначение: или .

Пример 4.9. , , .

Аналогично определяются производные третьего порядка, четвёртого и т.д.

4.4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя.

1. Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и при этом . Тогда внутри существует хотя бы одна точка , в которой .

2. Теорема Лагранжа. Пусть непрерывна на и дифференцируема на . Тогда внутри найдётся хотя бы одна точка , такая, что:

. (4.18)

3. Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на , дифференцируемы на и в любой точке . Тогда внутри найдётся хотя бы одна точка , такая, что

. (4.19)

4. Правило Лопиталя. (раскрытие неопределённостей типа или ). Пусть выполняются следующие условия:

1) Функции и дифференцируемы в некоторой окрестности , , точки , за исключением, быть может, самой точки ;

2) для любого ;

3) При обе функции и бесконечно малые, или же обе бесконечно большие, т.е. частное при представляет неопределённость типа или ;

4) Существует предел отношения производных .

Тогда (4.20)

Это же правило применимо и в случаях, когда , но при этом предполагается, что и дифференцируемы, а , соответственно, в правой (левой) полуокрестности , либо на некотором интервале , или на .

Замечания:

1) Если при указанных условиях предел отношения производных не существует, то это ещё не значит, что предела отношения самих функций тоже не существует.

2) Если отношение при снова даёт неопределённость типа или , а и удовлетворяют всем требованиям, сформулированным выше для и , то можно повторно применить правило Лопиталя, но уже с использованием отношения вторых производных и так далее.

Пример 4.9. Вычислить (неопределённость типа ).

.

Пример 4.10. Вычислить (неопределённость типа ).

. Этот предел вычисляем снова по правилу Лопиталя: .

Вычисление пределов с неопределённостями, символически обозначаемыми ; ; ; ; , сводится с помощью различных преобразований к неопределенностям типа или .

Пример 4.11. (неопределённость типа ).

.

Пример 4.12. (неопределённость типа ). Поскольку , то , так как экспоненциальная функция непрерывна; (см. предыдущий пример), следовательно искомый предел равен .

Пример 4.13. (неопределённость вида ).

Заметим, что , и кроме того

поэтому искомый предел равен .