Середня арифметична, умови її використання, способи обчислення та властивості

Найпоширенішою в економічних розрахунках і соціально-економічному аналізі є середня арифметична. Середня арифметична поділяється на просту і зважену. (Привести приклад із заробітними платами в Україні).

Середня арифметична простазастосовується в тих випадках, коли кожне індивідуальне значення ознаки (числовий варіант) трапляється один раз або однакове число раз.

Інакше кажучи, середня арифметична проста розраховується за незгрупованими даними.

Її розраховують шляхом ділення суми значень ознаки на кількість одиниць сукупності.

Тобто, якщо є значення варіюючої ознаки (її варіанти): , то середня арифметична проста обчислюється:

.

НАПРИКЛАД, якщо студент за результатами сесії одержав оцінки 4; 5; 3; то середній бал його успішності: .

Середня арифметична зважена застосовується в тих випадках, коли значення ознаки в сукупності трапляються багато раз і неоднакове число раз. Тобто, коли варіанти варіюючої ознаки мають різні частоти. У подібних випадках ми маємо справу, як нам вже відомо, із згрупованими даними або з варіаційними рядами розподілу.

1) Якщо ряд дискретний і частота кожного варіанта різна, то для підрахунку середньої арифметичної необхідно:

а) помножити кожний варіант на його частоту;

б) знайти суму одержаних добутків варіантів на частоти;

в) знайти суму частот (якщо вона невідома);

г) суму добутків варіантів на частоти розділити на суму частот.

У загальному вигляді підрахунку середньої арифметичної зваженої дискретного ряду можна подати таким чином:

.

Таким чином, середня арифметична дискретного ряду обчислюється як частка від ділення суми добутків варіантів на частоти на суму частот.

ПРИКЛАД: Нехай чоловіки витрачають в день на проїзд:

грн в середньому чоловіки витрачають на проїзд.

2) Якщо ряд інтервальний, то обчислення середньої арифметичної має одну особливість.

Вона полягає в тому, що в стовпчики варіантів значення ознак подані не одним числом, а певним інтервалом – нижньою і верхньою межами.

Для того, щоб розрахувати середню арифметичну інтервального ряду, необхідно перетворити його на дискретний:

1) визначити середню величину кожного інтервалу (його середину) як напівсуму верхньої і нижньої меж;

2) визначити середню для всього ряду в тій послідовності, що і для дискретного варіаційного ряду.

Якщо інтервальний ряд має відкриті інтервали в першій і останній групі, то спочатку треба визначити невідомі межі інтервалів.

а) вони визначаються або експертним шляхом виходячи з сутності ознаки в сукупності;

б) або величина інтервалу в першій групі береться таким, що дорівнює інтервалу наступної групи, а величина інтервалу в останній групі дорівнює інтервалу попередньої групи.

Пояснимо це на таких конкретних ПРИКЛАДАХ:

а) Нехай є інтервальний ряд розподілу робітників цеху за віком:

У першій групі відсутня нижня межа інтервалу, а в останній – верхня.

Якщо подивитися на сутність ознаки – вік, то логічно нижня межа не може бути менше 17 років, тому середина інтервалу буде дорівнювати 18,5.

Що стосується верхньої межі останнього інтервалу, то максимальний вік робітника не може бути більше 65 років.

б) Знайдемо середній час, за який студент СумДУ добирається до університету:

Величину інтервалу в першій групі прийняли таку, що дорівнює інтервалу наступного, тобто 10. Тоді нижня межа буде дорівнювати 0. Величину інтервалу в останній групі взяли таку, що дорівнює величині інтервалу попередньої групи, тобто також 10. Отже, верхня межа буде дорівнювати 40.

хв

Середня арифметична володіє рядом властивостей, що мають практичне значення для розуміння сутності середньої та її підрахунку.

1) Сума відхилень окремих значень ознаки (варіант) від середньої арифметичної дорівнює 0:

.

Логічно це означає, що в середній арифметичній взаємно погашаються відхилення варіант у той та інший бік.

2) Якщо від кожної варіанти відняти або до кожної варіанти додати яке-небудь довільне число, то нова середня зменшиться або збільшиться на це ж число.

3) Якщо кожну варіанту розділити або помножити на яке-небудь довільне число, то нова середня зменшиться або збільшиться в стільки ж разів.

4) Якщо всі частоти розділити або помножити на яке-небудь число, то середня арифметична не зміниться.

5) Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює добутку варіантів на частоти, тобто