Середня геометрична та квадратична, умови їх застосування та способи обчислення

Природу і сутність середньої геометричної краще всього можна пояснити на такому простому прикладі:

ПРИКЛАД: Нехай є два числа: 4 і 16. Середня арифметична з них дорівнює 10. Число 10 на стільки ж більше 4, на скільки воно менше 16: 4 < 10 < 16.

Нам потрібно знайти число, яке буде в стільки ж разів більше 4, в скільки разів воно буде менше 16. Таке число можна знайти за формулою загального члена геометричної пропорції

. Воно і є середньою геометричною для чисел 4 і 16.

Таким чином, якщо середня геометрична обчислюється з ряду величин (з незгрупованих даних), то вона дорівнює кореню n степені з добутку цих величин.

Тобто ,

де – добуток .

Для підрахунку середньої геометричної необхідно значення Х прологарифмувати, тобто

.

У логарифмованому вигляді формула середньої геометричної нагадує формулу, середньої арифметичної з тією лише різницею, що замість натуральних величин фігурують їх логарифми.

Загалом же середня геометрична відрізняється від середньої арифметичної порядком дій над величинами:

– замість підсумовування величин знаходиться їх добуток;

– замість ділення обчислюється корінь відповідної степені.

Якщо середня геометрична обчислюється для варіаційного ряду, то тоді сума частот є показником степені кореня, а частота кожного з варіантів – показником степені варіанта.

ПРИКЛАД:

.

.

.

Середня геометрична знаходить в статистиці дуже обмежене вживання.

Вона використовується, в основному, при обчисленні середніх темпів зростання якого-небудь показника (продукції, населення і т.д.).

Середня квадратичназастосовується у випадках, коли усереднюванню (узагальненню) підлягають величини, виражені у вигляді квадратних функцій.

НАПРИКЛАД, середні діаметри труб, коліс, стовбурів дерев і т.д.

Проста середня квадратична визначається за формулою

.

Зважена .

Якщо розраховувати різні види середніх величин на основі однієї і тієї ж первинної інформації, то отримаємо різні значення середніх, що обумовлено правилом їх мажоритарності:

.