Расчет тонкостенного стержня открытого профиля

Для тонкостенного стержня открытого профиля, изображенного на рис.19.8, а, при следующих исходных данных: H = 12,5 м; B = 19 м; l = 2 м; = 1 м; P = 1 кН; E = 2 МПа; G = 8 МПа, требуется:

1. Определить площадь, положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции поперечного сечения;

2. Найти положение центра изгиба;

3. Определить момент инерции при чистом кручении I_кр и секториальные характеристики сечения;

4. Вычислить изгибно-крутильную характеристику ;

5. Построить эпюры поперечной силы Q_x, изгибающего момен­та M_y, момента чистого кручения M_z, изгибно-крутящего момента , бимомента ;

6. Построить эпюры нормальных напряжений , и их сум­марную эпюру.

Решение:

1. Определение площади, положения центра тяжести и главных центральных моментов инерции

Вычислим расчетные размеры сечения стержня (рис.19.8, б, в), приняв в дальнейших расчетах:

; м;

м.

Рис. 19.8

Тогда

м².

В выбранной системе координат x₁y₁, определим положение центра тяжести сечения: y_c = 0;

Для этого построим эпюру координат x₁(рис.19.9, а) и вычис­лим статический момент сечения относительно оси y₁:

м³.

Тогда координата центра тяжести сечения будет равна:

м.

Для вычисления главных центральных моментов инерции пред­варительно построим эпюру координат x и y (рис.19.9, б, в). С при­менением этих эпюр, определяются:

м⁴;

м⁴.

2. Определение положения центра изгиба

Вначале построим эпюру секториальных координат площади , в характерных точках (1, 2, 3, 4) профиля, выбрав произволь­ный полюс в точке B (рис.19.9, г):

м²;

;

м².

Рис. 19.9

Координаты центра изгиба вычисляем по формулам (19.5).

Используя эпюры и y и применяя правило Верещагина, вычисляем секториально линейный статический момент:

м⁵.

Тогда координата центра изгиба по вертикальной оси прини­мает значение:

м.

Координата центра изгиба по горизонтальной оси вычисляется

Так как эпюра x симметрична, а эпюра обратно симметрич­на относительно x, то по правилу Верещагина секториально-ли­нейный статический момент равен нулю, т.е.:

.

Cледовательно, y_А = 0 и поэтому центр изгиба лежит на оси x.

Вычислим постоянную D, предварительно построив эпюру сек­ториальных площадей (рис.19.9, д).

При этом полюс расположим в центре изгиба (т. А). За начало отсчета возьмем точку 3 (произвольно):

м²;

м²;

м².

Постоянную D вычисляется по формуле (19.6):

Далее вычисляем секториально статический момент , как произведение площади эпюры на d :

м⁴ .

В этом случае величина постоянной D будет равна:

м² .

Далее, используя зависимость (19.7), вычисляем секториальные координаты характерных точек профиля:

м² ;

м² ;

м² ;

м² .

По полученным координатам строим эпюру (рис.19.9, е).

3. Определить момент инерции при чистом кручении и секториальные характеристики сечения

Для корытообразного профиля поперечного сечения бруса (рис. 19.8, б), имеем:

м⁴ .

Cекториальный момент инерции I_wвычисляем по эпюре (рис.19.9, е):

» м⁶ .

4. Определение изгибно- крутильной характеристики

Изгибно-крутильную характеристику вычисляем по формуле:

м^-1 .

5. Построение эпюр поперечной силы Q_x, изгибающего момента M_y , момента чистого кручения M_z, изгибно-крутящего момента М_w и бимомента В_w

В рассматриваемом примере:

м; кН = 95 Н;

; ch = 6,7690; × ch = 1,3×6,7690 = 8,7997 м^-1.

Тогда, согласно (19.25), получим:

Предварительно разбив тонкостенный брус по длине на 5 рав­ных частей, для этих сечений численные значения величин Q_x , M_y , M_z , и приведены в таблице 19.7.

По результатам табл. 19.7 строим эпюры Q_x , M_y , M_z , и (рис.19.10). При этом в случае действия на брус сосредоточенной силы, во всех сечениях выполняется следующее условие: .

Таблица 19.7

z, м		sh	ch	Qx, Н	My, Нм	Mz, Нм	, Нм	, Нм2
0,00	0,00	0,0000	1,0000			80,97	14,03
0,40	0,52	0,5438	1,1383			79,03	15,97	5,87
0,80	1,04	1,2379	1,5913			72,67	22,33	13,37
1,20	1,56	2,2743	2,4845			60,14	34,86	24,50
1,60	2,08	3,9398	4,0647			37,96	57,04	42,56
2,00	2,60	6,6947	6,7690			0,00	95,01	72,32

6. Построить эпюры нормальных напряжений , и их суммарную эпюру

Нормальные напряжения зависят от внутренних силовых фак­торов M_y и согласно выражения (19.11). Опасным сечением явля­ется сечение в заделке, так как в нем действуют наибольшие по величине M_y и (рис.19.10, в, д). Нормальные напряжения от изгиба (рис.19.11, а) определяем по формуле:

.

В точке 1: x₁ = 8,57 м, = -303,8×8,57 = -26 МПа.

В точке 2: x₁ = -3,43 м, = -303,8×(-3,43 ) = 11,94 МПа.

В точке 3: x₁ = -3,43 м, = -303,8×(-3,43 ) = 11,94 МПа.

В точке 4: x₁ = 8,57 м, = -303,8×8,57 = -26 МПа.

По найденным данным строим эпюру (рис.19.11, а).

Рис. 19.10 Рис. 19.11

Нормальные напряжения в точках профиля от действия бимо­мента вычисляем по формуле:

В точке 1: МПа.

В точке 2: МПа.

В точке 3: МПа.

В точке 4: МПа.

По полученным данным строим эпюру . Суммарные нор­мальные напряжения в опасном сечении тонкостенного стержня от совместного действия изгиба и стесненного кручения вычислим пу­тем сложения эпюр и по формуле: .

В точке 1: = -26 - 1,55 = -38,55 МПа.

В точке 2: = 11,94 + 8,37 = 20,31 МПа.

В точке 3: = 11,94 - 8,37 = 3,57 МПа.

В точке 4: = -26 + 12,55 = -13,45 МПа.

Суммарная эпюра нормальных напряжений приведена на рис.19.11, в.