![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Бимомент
В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тонкостенного бруса можно представить в виде следующего выражения:
где Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:
С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений s, примут вид:
Здесь через Bw обозначена новая силовая характеристика, называемая бимоментом, размерность которой будет кН×м2. В результате совместного рассмотрения (15.9) и (15.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:
Первые три слагаемых уже известные нам величины нормальных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изменения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент. Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фактором и по методу сечений не может быть определен. Следовательно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопределимой. Например, если нагрузить стержень двутаврового сечения четырьмя равными силами Р (рис.15.5), бимомент в торцевом сечении будет равен:
где
Рис.15.5
В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгибающие моменты Mx , My равны нулю. Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:
Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Qx, Qy- поперечные силы, от касательных напряжений tx, ty ; Mx, My -изгибающие моменты, от нормальных напряжений sz ; Mz - крутящий момент свободного кручения от касательных напряжений tg; Bw - бимомент от действующих нормальных напряжений sw, вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; Mw - изгибно-крутящий момент от дополнительных касательных напряжений tw. Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 15.1, где приняты следующие обозначения: u, v - перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y; Все эти величины легко определяются, если известна функция g(z). Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:
Подставляя в (15.14) значения
Дифференцируя (15.15) по z, имеем:
или
где Таблица 15.1
Рис.15.6
Рассмотрим случай кручения, когда на свободном конце тонкостенного стержня, защемленного с другим концом, действует крутящий момент (рис.15.6). В этом случае имеем:
интеграл которого записывается:
Откуда имеем:
Для определения C1, C2, C3 и C4 с учетом граничных условий: при z = 0, при z = l, получим:
Учитывая выражения произвольных постоянных (15.22) из (15.19) и (15.20), будем иметь:
Здесь shx и chx - гиперболический синус и гиперболический косинус, соответственно, аргумента x:
Значения гиперболических функций при заданном аргументе приводятся в таблице 12.7. В заключении, учитывая (15.23) и выражения усилий из таблицы 15.1, окончательно получим:
Заметим, что существует полная аналогия в основных зависимостях теории стесненного кручения стержней открытого и замкнутого профилей. Основные расчетные зависимости теории расчета стержней замкнутого профиля можно получить, путем замены в приведенных выше зависимостях для расчета стержней открытого профиля, уже известных нам секториальных координат и секториальных геометрических характеристик сечений При этом, главная обобщенная секториальная координата Рис.15.7 где Главный обобщенный секториальный момент сечения
где
|