Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Бимомент




 

В общем случае нагружения осевые перемещения сечения тон­костенного бруса можно представить в виде следующего выраже­ния:

, (15.8)

где , и характеризуют: смещение по продольной оси z; поворот сечения как жесткого целого относительно координатных осей x и y; g - удельный угол закручивания относительно продоль­ной оси z, - эпюра главнойсекториальной площади.

Нормальные напряжения в сечении, согласно закону Гука, в данном случае определяются согласно выражения:

. (15.9)

С учетом последнего выражения, формулы по определению внутренних силовых факторов от нормальных напряжений s, при­мут вид:

(15.10)

Здесь через Bw обозначена новая силовая характеристика, назы­ваемая бимоментом, размерность которой будет кН×м2.

В результате совместного рассмотрения (15.9) и (15.10) выражение нормальных напряжений можно представить в следующем виде:

. (15.11)

Первые три слагаемых уже известные нам величины нормаль­ных напряжений из курса «Сопротивления материалов», являются результатом действия продольной силы и изгибающих моментов. Что же касается четвертого слагаемого, то оно характеризует изме­нения, вносимые в линейные законы распределения напряжений, депланацией сечения, силовой мерой которой является бимомент.

Заметим, что бимомент является самоуравновешенным фак­тором и по методу сечений не может быть определен. Следова­тельно, задача в общем случае нагружения тонкостенного стержня является статически неопре­делимой. Например, если на­грузить стержень двутаврово­го сечения четырьмя равны­ми силами Р (рис.15.5), бимо­мент в торцевом сечении бу­дет равен:

, (15.12)

где - значение секториаль­ной площади для точки при­ложения силы Pi, т.е.:

.

Рис.15.5

 

В этом случае, очевидно, что и продольная сила N, и изгиба­ющие моменты Mx , My равны нулю.

Касательные напряжения в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения слагаются из касательных напряжений поперечного изгиба, простого (свободного) кручения, и наконец, из вторичных касательных напряжений, возникающих за счет стесненного кручения:

. (15.13)

Следовательно, в общем случае нагружения в поперечных сечениях тонкостенного стержня возникают следующие внутренние усилия: Qx, Qy- поперечные силы, от касательных напряжений tx, ty ; Mx, My -изгибающие моменты, от нормальных напряжений sz ; Mz - кру­тящий момент свободного кручения от касательных напряжений tg; Bw - бимомент от действующих нормальных напряжений sw, вследствии изгиба элементов тонкостенного стержня; Mw - изгиб­но-крутящий момент от дополнительных касательных напря­жений tw.

Формулы для вычисления перечисленных факторов даны в таблице 15.1, где приняты следующие обозначения: u, v - перемещения линий центров изгиба сечений в направлении координатных осей x и y; - соответственно, статические моменты относитель­но координатных осей и секториально статический момент отсе­ченной части сечения, расположенной по одну сторону от расчет­ной точки.

Все эти величины легко определяются, если известна функция g(z). Последняя может быть найдена из условия равенства суммы крутящих моментов стесненного и свободного кручения полному крутящему моменту:

. (15.14)

Подставляя в (15.14) значения и из табл. 15.1, получим:

. (15.15)

Дифференцируя (15.15) по z, имеем:

, (15.16)

или

, (15.17)

где - изгибно-крутиль­ная характеристика поперечного сечения стержня; -распре­деленный крутящий момент.

Таблица 15.1

Силовой фактор Усилие Напряжение
    Поперечная сила Qx, Qy   , ,
    Изгибающий момент Mx, My   , ,
Крутящий момент при свободном кручении тонкостенного стержня постоянной толщины стенки d, Mz
Крутящий момент при стеснен­ном кручении тонкостенного стер­жня постоянной толщины стенки d, Mw  
Бимомент Bw  

 

Рис.15.6

 

Рассмотрим случай кручения, когда на свободном конце тон­костенного стержня, защемленного с другим концом, действует крутящий момент (рис.15.6). В этом случае имеем:

, (15.18)

интеграл которого записывается:

. (15.19)

Откуда имеем:

(15.20)

Для определения C1, C2, C3 и C4 с учетом граничных условий:

при z = 0, и ;

при z = l, и , (15.21)

получим:

(15.22)

Учитывая выражения произвольных постоянных (15.22) из (15.19) и (15.20), будем иметь:

(15.23)

Здесь shx и chx - гиперболический синус и гиперболический косинус, соответственно, аргумента x:

. (15.24)

Значения гиперболических функций при заданном аргументе приводятся в таблице 12.7.

В заключении, учитывая (15.23) и выражения усилий из таблицы 15.1, окончательно получим:

(15.25)

Заметим, что существует полная аналогия в основных зависи­мостях теории стесненного кручения стержней открытого и замк­нутого профилей. Основные расчетные зависимости теории расчета стержней замкнутого профиля можно получить, путем замены в приведенных выше зависимостях для расчета стержней открытого профиля, уже известных нам секториальных координат и сектори­альных геометрических характеристик сечений , Jw и т.д., на обобщенные величины , и т.д., для замкнутого профиля.

При этом, главная обобщенная секториальная координата , для замкнутого профиля (рис.15.7), определяется:

Рис.15.7

где - сектори­альная координата, вычисляемая по аналогии теории стержня от­крытого профиля; r - длина пер­пендикуляра, опущенного из по­люса А, взятого внутри контура, на касательную к контуру; - параметр, условно на­зываемый «средним радиусом» замкнутого контура; W - удвоенная площадь, охваченная срединной линией контура s; -приведенная длина дуги данной точки контура.

Главный обобщенный секториальный момент сечения и секториальный статический момент для замкнутого контура определяются по формулам:

 

,

где .

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 102; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты