КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Расчет тонкостенного стержня открытого профиля. Для тонкостенного стержня открытого профиля, изображенного на рис.15.8, а, при следующих исходных данных: H = 12,5×10-2 м; B = 19×10-2 м; l = 2 м;
Для тонкостенного стержня открытого профиля, изображенного на рис.15.8, а, при следующих исходных данных: H = 12,5×10-2 м; B = 19×10-2 м; l = 2 м; = 1×10-2 м; P = 1 кН; E = 2×105 МПа; G = 8×104 МПа, требуется: 1. Определить площадь, положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции поперечного сечения; 2. Найти положение центра изгиба; 3. Определить момент инерции при чистом кручении Jкр и секториальные характеристики сечения; 4. Вычислить изгибно-крутильную характеристику ; 5. Построить эпюры поперечной силы Qx, изгибающего момента My, момента чистого кручения Mz, изгибно-крутящего момента Mw, бимомента Bw; 6. Построить эпюры нормальных напряжений sz, sw и их суммарную эпюру.
Рис.15.8
Решение: 1. Определение площади, положения центра тяжести и главных центральных моментов инерции Вычислим расчетные размеры сечения стержня (рис.15.8, б, в), приняв в дальнейших расчетах: м = const; м; м. Тогда м2. В выбранной системе координат x1y1, определим положение центра тяжести сечения: yc = 0; Для этого построим эпюру координат x1(рис.15.9, а) и вычислим статический момент сечения относительно оси y1: м3. Тогда координата центра тяжести сечения будет равна: м. Для вычисления главных центральных моментов инерции предварительно построим эпюру координат x и y (рис.15.9, б, в). С применением этих эпюр, определяются:
м4;
м4.
Рис.15.9
2. Определение положения центра изгиба Вначале построим эпюру секториальных координат площади , в характерных точках (1, 2, 3, 4) профиля, выбрав произвольный полюс в точке B (рис.15.9, г): м2; ; м2. Координаты центра изгиба вычисляем по формулам (15.5). Используя эпюры и y и применяя правило Верещагина, вычисляем секториально линейный статический момент: = -116,64×10-8 м5. Тогда координата центра изгиба по вертикальной оси принимает значение: м. Координата центра изгиба по горизонтальной оси вычисляется Так как эпюра x симметрична, а эпюра обратно симметрична относительно x, то по правилу Верещагина секториально-линейный статический момент равен нулю, т.е.: . Cледовательно, yА = 0 и поэтому центр изгиба лежит на оси x. Вычислим постоянную D, предварительно построив эпюру секториальных площадей ' (рис.15.9, д). При этом полюс расположим в центре изгиба (т. А). За начало отсчета возьмем точку 3 (произвольно): м2; м2; м2. Постоянную D вычисляется по формуле (15.6): Далее вычисляем секториально статический момент , как произведение площади эпюры 'на d : м4 . В этом случае величина постоянной D будет равна: м2 . Далее, используя зависимость (15.7), вычисляем секториальные координаты характерных точек профиля: м2 ; м2 ; м2 ; м2 . По полученным координатам строим эпюру (рис.15.9, е). 3. Определить момент инерции при чистом кручении и секториальные характеристики сечения Для корытообразного профиля поперечного сечения бруса (рис. 15.8, б), имеем: м4 . Cекториальный момент инерции Jwвычисляем по эпюре (рис.15.9, е): » м6 . 4. Определение изгибно-крутильной характеристики Изгибно-крутильную характеристику вычисляем по формуле: м-1 . 5. Построение эпюр поперечной силы Qx , изгибающего момента My , момента чистого кручения Mz , изгибно-крутящего момента Мw и бимомента Вw В рассматриваемом примере: м; кН = 95 Н; ; ch = 6,7690; × ch = 1,3×6,7690 = 8,7997 м-1. Тогда, согласно (15.25), получим: Предварительно разбив тонкостенный брус по длине на 5 равных частей, для этих сечений численные значения величин Qx , My , Mg , Мw и Вw приведены в таблице 15.2. По результатам табл. 15.2 строим эпюры Qx , My , Mg , Мw и Вw (рис.15.10). При этом в случае действия на брус сосредоточенной силы, во всех сечениях выполняется следующее условие: . Таблица 15.2
6. Построить эпюры нормальных напряжений sz, sw и их суммарную эпюру Нормальные напряжения зависят от внутренних силовых факторов My и Вw согласно выражения (15.11). Опасным сечением является сечение в заделке, так как в нем действуют наибольшие по величине My и Вw (рис.15.10, в, д). Нормальные напряжения от изгиба (рис.15.11, а) определяем по формуле: Па = -303,8 x1 МПа. В точке 1: x1 = 8,57×10-2 м, = -303,8×8,57×10-2= -26 МПа. В точке 2: x1 = -3,43×10-2 м, = -303,8×(-3,43×10-2) = 11,94 МПа. В точке 3: x1 = -3,43×10-2 м, = -303,8×(-3,43×10-2) = 11,94 МПа. В точке 4: x1 = 8,57×10-2 м, = -303,8×8,57×10-2= -26 МПа. По найденным данным строим эпюру sz (рис.15.11, а). Рис.15.10 Рис.15.11
Нормальные напряжения в точках профиля от действия бимомента Вw вычисляем по формуле: Па = МПа. В точке 1: МПа. В точке 2: МПа. В точке 3: МПа. В точке 4: МПа. По полученным данным строим эпюру . Суммарные нормальные напряжения в опасном сечении тонкостенного стержня от совместного действия изгиба и стесненного кручения вычислим путем сложения эпюр и по формуле: . В точке 1: = -26 - 1,55 = -38,55 МПа. В точке 2: = 11,94 + 8,37 = 20,31 МПа. В точке 3: = 11,94 - 8,37 = 3,57 МПа. В точке 4: = -26 + 12,55 = -13,45 МПа. Суммарная эпюра нормальных напряжений приведена на рис.15.11, в.
|