Секториальная площадь. В дополнение к уже известным геометрическим характеристи­кам сечений (A - площадь поперечного сечения; Sx

В дополнение к уже известным геометрическим характеристи­кам сечений (A - площадь поперечного сечения; S_x, S_v - статиче­ские моменты сечения; I_x, I_v, I_xy - осевые и центробежный момен­ты инерции) введем ряд новых. Эти характеристики свойственны только тонкостенным стержням и определяются на основе понятия секториальной площади.

Рассмотрим срединную линию контура поперечного сечения (рис.19.3). Срединная линия - это геометрическое место точек поперечного сечения, равноудаленно расположенных от контурных линий. Выберем на срединной линии начало 0 отсчета дуги s и из заданного полюса Р. Проведем два луча к концам элементарного отрезка ds. Удвоенную площадь треугольника PAB обозначают через .

Очевидно, что

, (19.1)

где r - расстояние от полюса Р до каса­тельной к линии контура в точке А.

Интеграл

, (19.2)

называется секториальной площадью. Таким образом, сектори­альная площадь представляет собой удвоенную площадь, очер­чиваемую радиус-вектором РА при движении т. А по контуру от начала отсчета 0 до некоторого значения дуги s. Если радиус-век­тор вращается по часовой стрелке, приращение площади имеет знак плюс, против часовой стрелки - минус.

Рис. 19.3

Точка Р называется секториальным полюсом.

При заданном полюсе и заданном начале отсчета в каждом конкретном случае может быть построена эпюра секториальной площади.

Рис. 19.4

В качестве примера по­строим эпюру секториальной площади для контура, приве­денного на рис.19.4, а. Выби­раем в качестве полюса точ­ку P, а за начало отсчета при­нимаем точку 0 (рис.19.4, а).

Рассмотрим участок 0-3. На этом участке . Век­тор r вращается по часовой стрелке, следовательно эпюра имеет знак плюс:

; ; .

На участке 3-4, , вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

; ; .

На участке 0-2, , вектор r вращается против часовой стрелки, то есть приращение площади будет отрицательным:

; ; .

На участке 2-1, , вектор r вращается по часовой стрелке, то есть приращение площади будет положительным:

; ; .

Эпюра секториальной площади приведена на рис.19.4, б.

Отметим, что при переносе полюса секториальная площадь ме­няется на величины, линейно зависящие от координат x и y, т.е.:

, (19.3)

где и - секториальная площадь относительно нового Р₀ и старого полюса Р', соответственно; x_c, y_c, x₀, y₀ - координаты центра изгиба и начала отсчета, соответственно.