Задана точка сопряжения

Рассмотрим несколько характерных случаев сопряжения двух прямых, прямой и дуги и двух дуг, когда задана одна точка сопряжения М.

Для построения сопряжения двух пересекаю­щихся прямых l₁ и, l₂ (рисунок 31) центр сопряжения О определяем в точке пересечения перпен­дикуляра к прямой l₁, восставленного из задан­ной точки М, и биссектрисы угла, образованного прямыми l₁ и l₂. Вторую точку сопряжения N на прямой l₂ определяем с помощью перпенди­куляра, опущенного из центра О на прямую l₂. Радиус сопряжения определяем графически: R_x=½OM ½= ½ON½.

Рисунок 31 Рисунок 32

Построить сопряжение прямой линии l с ду­гой радиуса R₁, проведенной из центра О₁. Эта задача может быть решена в двух вариантах, точка М может быть задана на дуге и на пря­мой. Рассмотрим последовательно оба вари­анта.

Первый вариант. Точка М задана на дуге. В точке М проводим касательную к дуге. Точка пересечения биссектрисы угла, образо­ванного касательной и заданной прямой l, с продолжением радиуса О₁М определяем центр дуги сопряжения О (рисунок 32).

Вторая точка сопряжения N на прямой опре­деляется перпендикуляром, опущенным из точ­ки О на прямую l. Радиус сопряжения опреде­лился графически: R_x=OM = ON.

Второй вариант Точка М задана на прямой. Из заданной точки М восставляем перпендику­ляр к прямой l и откладываем на нем расстоя­ние, равное R₁ (рисунок 33). Полученную точку К соединяем с центром О₁, и делим отрезок О₁К пополам. Центр дуги сопряжения О определя­ется в точке пересечения перпендикуляра, воcстановленного из середины отрезка О₁К, и прямой МК.

Рисунок 33 Рисунок 34

Вторую точку сопряжения N на дуге опреде­ляем в точке пересечения прямой ОО₁ с задан­ной дугой. Радиус сопряжения R_x=OM=ON.

Построить сопряжение двух дуг R₁ из цент­ра О₁ и R₂ из центра О₂. Точка сопряжения М задана на дуге, проведенной из центра О₁. Соединяем заданную точку М с центром О₁, и откладываем на продолжении радиуса О₁М расстояние, равное R₂ (рисунок 34). Дальнейшее построение аналогично предыдущему случаю; полученную точку К соединяем с центром О₂ и делим отрезок КО₂ пополам. Центр дуги сопряжения О определяется в точке пересечения перпендикуляра, восставленного от середины отрезка КО₂, и прямой МО₁ Вторую точку сопряжения на второй дуге определяем в точке пересечения дуги с прямой ОО₂. Радиус сопря­жения R_x=OM=О N.

При обводке сопряженных линий сначала следует обводить дуги до точек сопряжений, а затем прямолинейные участки.

Лекальные кривые имеют большое приме­нение в технике. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся способы построения плоских кривых: эллипса, параболы, циклоиды, сину­соиды, эвольвенты. Эти кривые обычно обводят с помощью лекал, поэтому они получили на­звание лекальных кривых.

Эллипс (рисунок 35). Эллипсом называется замкнутая плоская кривая, для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух точек той же плоскости – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная большой оси эл­липса. Отрезок MN называется большой осью эллипса, а отрезок DE – малой его осью. Если из точки D или Е провести дугу радиусом R = MN:2, то на большой оси эллипса будут получены его фокусы (точки F₁ и F₂).

Для построения эллипса проводят две кон­центрические окружности, диаметры которых равны осям эллипса. Эти окружности делят на несколько равных частей (12 – 16). Через точки деления на большой окружности проводят вер­тикальные линии, через соответствующие точки деления на малой окружности – горизонталь­ные линии. Пересечение этих линий даст точки эллипса I, II, III... (другие способы построения эллипса см. в рекомендуемой литературе).

Рекомендуется при обводке эллипса и дру­гих симметричных кривых делать на лекале засечки–черточки карандашом и прикладывать этот участок лекала к симметричной части кривой.

Парабола. Параболой называется плос­кая кривая, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой, носящей название директрисы, и точки, называе­мой фокусом параболы, расположенных в той же плоскости.

На рисунке 36 приведен один из способов по­строения параболы. Даны вершина параболы О, одна из точек параболы D и направление оси ОС. На отрезках ОС и CD строят прямоугольник, стороны этого прямоугольника ОВ и BD делят на произвольное одинаковое число равных час­тей и нумеруют точки деления Вершину О соединяют с точками деления стороны BD, а из точек деления отрезка ОВ проводят пря­мые, параллельные оси. Пересечение прямых, проходящих через точки с одинаковыми номе­рами, определяет ряд точек параболы (другие способы построения параболы см. в рекомендуе­мой литературе).

Рисунок 35 Рисунок 36

Циклоида (рисунок 37). Траектория точки А, принадлежащей окружности, перекатываемой без скольжения по прямой, называется циклоидой. Для ее построения от исходного положе­ния точки А на направляющей прямой откла­дывают отрезок AA₁, равный длине данной окружности 2pR. Окружность и отрезок АА₁ делят на одинаковое число равных частей.

Восставляя перпендикуляры из точек деле­ния прямой АА₁ до пересечения с прямой, про­ходящей через центр данной окружности парал­лельно АА₁ намечают ряд последовательных положений центра перекатываемой окружности О₁, О₂, О₃ ... , О₈, описывая из этих центров окружности радиуса R, отмечают точки пересе­чения с ними прямых, проходящих параллель­но АА₁ через точки деления окружности 1, 2, 3 и т. д.

В пересечении горизонтальной прямой, про­ходящей через точку 1, с окружностью, описан­ной из центра О₁, находится одна из точек циклоиды; в пересечении прямой, проходящей через точку 2, с окружностью, проведенной из центра О₂, находится другая точка циклоиды и т. д. Соединяя полученные точки плавной кривой, получаем циклоиду.

Рисунок 37

Рисунок 38

Синусоида (рисунок 38). Для построения синусоиды делят окружность заданного радиуса на равные части (6, 8, 12 и т. д) и на продолже­нии осевой линии от условного начала – точ­ки А – проводят отрезок прямой АВ, равный 2nR. Затем прямую делят на такое же число равных частей, как и окружность (6, 8,12 и т. д.). Из точек окружности 1,2, 3, ... 12 проводят пря­мые линии параллельно выбранной прямой до пересечения с соответствующими перпендику­лярами, восставленными или опущенными из точек деления прямой. Полученные точки пере­сечения (1', 2', 3', ... , 12') будут точками си­нусоиды с периодом колебания, равным 2pR. Точки 3' и 9' кривой являются вершинами точ­ки А, 6 и В – точками перегиба.

Эвольвента (развертка круга, рисунок 39). Эвольвентой называется траектория, описывае­мая каждой точкой прямой линии, перекатывае­мой по окружности без скольжения. В машино­строении по эвольвенте очерчивают профиль зубьев зубчатых колес. Для построения эволь­венты окружность предварительно делят на произвольное число равных частей; в точках деления проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону. На касательной, проведенной через последнюю точку деления, откладывают отрезок, равный длине окружно­сти 2pR, и делят его на то же число п равных частей. Откладывая, на первой касательной одно деление, равное pD/n, на второй – два, на третьей – три и т. д., получают ряд точек I, II, III и т. д., которые соединяют по лекалу.

Построение гиперболы, эпициклоиды, гипо­циклоиды, спирали Архимеда, строфоиды и т. д., см. в рекомендуемой литературе.

Для обводки кривой по лекалу рекоменду­ется соединить полученные точки тонкой ли­нией от руки на глаз, стараясь при этом придать кривой линии возможно более плавные очертания, и лишь после этого подобрать лекало, соответствующее кривизне того или иного ее участка (рисунок 40), соединяя не менее трех точек одновременно.

Рисунок 39 Рисунок 40

Ранее были рассмотрены различные случаи сопряжения прямых, прямой с дугой и двух дуг. На практике нередко встречается сопряжение прямой с лекальными кривыми, при этом сопря­гаемая прямая должна быть направлена по касательной к кривой, проведенной через за­данную точку сопряжения.

Рассмотрим примеры построения сопряже­ний прямой с эллипсом (рисунок 41). Задана точка сопряжения К. Касательная к эллипсу в данной точке проходит перпендикулярно биссектрисе угла, образованного прямыми F_tK и F₂K, где F₁ и F₂ – фокусы эллипса.

На рисунке 42 показано построение касательной к параболе в заданной точке М. Касательная соединяет заданную точку М с точкой К, положение которой определяется соотношени­ем AK = AN. Способы построения касательных к другим заданным лекальным кривым можно изучить в рекомендуемой литературе.

Рисунок 41 Рисунок 42

Вопросы для самопроверки

1. Сколько листов формата А4 содержится в листе формата А1?

2. Как образуются допол­нительные форматы чертежей?

3. Чем опреде­ляется размер шрифта?

4. Чему равна высота строчных букв по сравнению с прописными?

5. Допускается ли применение в чертежах пря­мого шрифта?

6. От чего зависит выбор тол­щины линии обводки видимого контура?

7. Ка­кого начертания и какой толщины проводят линии осевые, центровые, выносные, размерные и невидимого контура?

8. Как проводят цент­ровые линии окружности небольшого диаметра (менее 12 мм)?

9. В каких единицах проставляют размеры на чертежах?

10. На каком расстоя­нии от контура рекомендуется проводить раз­мерные линии?

11. В каких случаях стрелку раз­мерной линии заменяют точкой или штрихом?

12. Как располагают цифры размеров угла?

13. В каких случаях проставляют знак диамет­ра?

14. Какие проставляют размеры при выполнении чертежа в масштабе, отличном от 1:1?

15. На каких двух положениях геометрии основано построение сопряжений?

16. Перечис­лите элементы сопряжений.