КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Оценка точности измеренийДля ряда равноточных измерений а1, а2 ...аn определим его среднеарифметическое значение а и составим разности (а - а1), (а - а2), ..., (а - аn). Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения (Vi). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки D хi = (Х - аi), бывают положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим т.е. алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают. Вероятнейшие ошибки Vi лежат в основе математической обработки результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку D аi среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата измерений. Средняя истинная случайная ошибка (иначе - среднее отклонение отдельного измерения) определяется выражением (D х1+Dх2+...+Dхn)/ n. Величина [ (Dх1)2+(Dх2)2+...+(Dхn)2] / n представляет средний квадрат случайной ошибки или дисперсию S2 выборки (при ограниченном n) или генеральной совокупности s 2 (при бесконечном n). Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения S = является лучшим критерием точности, чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных и отрицательных ошибок D хi и сильнее учитывается действие крупных ошибок. Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и истинные случайные ошибки хi. Для определения средней квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что при большом числе измерений n справедливо равенство . Различный знаменатель объясняется тем, что величины хi являются независимыми, а из n величин Vi независимыми являются n-1, т.к. в величину Vi входит а, само определяемое из этих же n измерений. Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить среднюю квадратичную ошибку определенного измерения: . Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е. определим величину D х = Х - а. Для этого проведем преобразование выражения Sn2 = = = . Если повторить серии по n измерений в каждой N ðàç, ìîæíî ïîëó÷ить средние значения а1, а2, ... , аN и погрешности результатов измерений (Dх)1 = (Х - а1); (Dх)2 = (Х - а2); ... ; (Dх)N = (Х - аN) и среднюю среднеквадратичную погрешность серии Sa2 = . При большом числе N S2a ® s 2a Усредняя выражение S2n по числу серий N, получаем Sa2 = (D x)2 = Sn2 - . Учитывая что при большом n S2n ® s 2 и S2 ® s 2 получаем искомую связь между дисперсиями всего опыта s 2a и отдельного эксперимента s 2 , т.е. дисперсия s 2a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений приближенным выражением s 2a будет S2a . Выражения s 2a и S2a отражают фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного - четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз и т.д.
|