Оценка точности измерений

Для ряда равноточных измерений а₁, а₂ ...а_n определим его среднеарифметическое значение а и составим разности (а - а₁), (а - а₂), ..., (а - а_n).

Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения (V_i). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки D х_i = (Х - а_i), бывают положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим

т.е. алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.

Вероятнейшие ошибки V_i лежат в основе математической обработки результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку D а_i среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата измерений.

Средняя истинная случайная ошибка (иначе - среднее отклонение отдельного измерения) определяется выражением (D х₁+Dх₂+...+Dх_n)/ n.

Величина [ (Dх₁)²+(Dх₂)²+...+(Dх_n)^{2] /} n представляет средний квадрат случайной ошибки или дисперсию S² выборки (при ограниченном n) или генеральной совокупности s ² (при бесконечном n). Средняя квадратичная ошибка отдельного измерения S = является лучшим критерием точности, чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных и отрицательных ошибок D х_i и сильнее учитывается действие крупных ошибок.

Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то неизвестны и истинные случайные ошибки х_i. Для определения средней квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что при большом числе измерений n справедливо равенство

.

Различный знаменатель объясняется тем, что величины х_i являются независимыми, а из n величин V_i независимыми являются n-1, т.к. в величину V_i входит а, само определяемое из этих же n измерений.

Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:

.

Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е. определим величину D х = Х - а.

Для этого проведем преобразование выражения

S_n² =

=

= .

Если повторить серии по n измерений в каждой N ðàç, ìîæíî ïîëó÷ить средние значения а₁, а₂, ... , а_N и погрешности результатов измерений

(Dх)₁ = (Х - а₁); (Dх)₂ = (Х - а₂); ... ; (Dх)_N = (Х - а_N)

и среднюю среднеквадратичную погрешность серии

S_a² = .

При большом числе N S²_{a ®} s ²_a

Усредняя выражение S²_n по числу серий N, получаем

S_a² = (D x)² = S_n² - .

Учитывая что при большом n S²_n ® s ² и S² ® s ² получаем искомую

связь между дисперсиями всего опыта s ²_a и отдельного эксперимента s ²

,

т.е. дисперсия s ²_a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений приближенным выражением s ²_a будет S²_a

.

Выражения s ²_a и S²_a отражают фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного - четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз и т.д.