Обработка результатов измерений диаметра цилиндра

Микрометром было сделано десять замеров диаметра цилиндра. Цена деления микрометра 0,01 мм. Определить диаметр цилиндра с надежностью a = 0,95 и a = 0,99. Оценить влияние числа замеров на точность получаемого результата.

а_i: 14,85; 14,80; 14,84; 14,81; 14,79;

14,81; 14,80; 14,85; 14,84; 14,80.

1. Для первых пяти измерений определим среднеарифметическое значение и границы доверительного интервала. Для удобства расчетов выберем произвольное число а_о удобное для расчетов (а_{о =} 14,80 мм) и определим разности (а_i - а_о) и квадраты этих разностей. Результаты сведены в таблицу.

i	аi, мм	аi - ао, мм	(аi - ао)2, мм2
	14, 85	0, 05	0, 0025
	14, 80	0, 00	0, 0000
	14, 84	0, 04	0, 0016
	14, 81	0, 01	0, 0001
	14, 79	- 0, 01	0, 0001
	0, 09	0, 0043

Найдем среднее значение а и среднеквадратичное отклонение S _а:

а - а_о = 0, 018 мм;

( мм² );
( мм ).

Для надежности a = 0,95 и n = 5 t a = 2,78. Абсолютная погрешность измерения D х:

Dх = t a × S_а = 2,78 × 0,0116 = 0,0322 мм.

Результат измерения можно представить в виде

(14,818 - 0,032) мм £ а £ ( 14,818 + 0,032) мм

или сохраняя в величине погрешности одну значащую цифру

(14,82 - 0,03) мм £ а £ ( 14,82 + 0,03) мм,

т.е. 14,79 мм £ а £ 14,85 мм или а = ( 14,82 ± 0,03) мм.

Относительная погрешность

e _а = .

Теперь найдем абсолютную и относительную погрешность этих измерений при a = 0,99.

В этом случае t a = 4,60. Тогда

Dх = t a × S_a = 4,60× 1,16× 10^-2 = 5,34× 10^-2 ( мм ).

Следовательно а = ( 14,82 ± 0,05) мм

e _а = .

Видно, что с увеличением надежности границы доверительного интервала возросли, а точность результата уменьшилась.

1. Проведем расчет погрешностей для этих же пяти измерений, незаконно полагая, что s ² = S ²_n (что при n = 5 ошибочно). Для этого используем распределение Гаусса (а не Стюарта). При a = 0,95 ka =

Это дает возможность определить

Dх = ka × S_a = 1,96× 1,16× 10^-2 » 2× 10^-2 ( мм ),

т.е. погрешность получилась меньше примерно на 30%. Если по этой величине погрешности определить величину надежности при t a = ka, то из таблицы коэффициентов Стьюдента получим a < 0,90 вместо заданной a = 0,95. Следовательно при малом числе измерений n применение закона нормального распределения с s ² = S²_n вместо распределения Стьюдента приводит к уменьшению надежности результата измерений.

1. Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений

i	аi, мм	аi - ао, мм	(аi - ао)2, мм2
	14, 81	0, 01	0, 0001
	14, 80	0, 00
	14, 85	0, 05	0, 0025
	14, 84	0, 04	0, 0016
	14, 80	0, 00
	0, 10	0, 0042

а_о = 14, 80 мм;

а = а_о + ( мм );

а - а_о = 0, 02 мм;

( мм² );

S_a = 1, 05× 10^-2 мм.

При a = 0,95:

Dх = t a × S_a = ± 2,78× 1,05× 10^-2 = 2,92× 10^-2 ( мм );

e _а = ;

Х = 14, 82 ± 0, 03 мм.

При a = 0,99:

Dх = ± 4,60× 1,05× 10^-2 » 5× 10^-2 ( мм );

e _а = ±

Х = 14, 82 ± 0,05 мм.

Результаты практически не отличаются, от результатов полученных из первой серии.

1. Найдем теперь погрешность результата всей серии из десяти измерений. В этом случае (мм); (мм²).

Эти величины получаются суммированием последних строк из таблиц частных серий.

а_о = 14, 80 мм;

а = а_о + ( мм );

а - а_о = 0, 019 мм.

S_a² =

= ( мм² );

S_a = 7, 35× 10^-3 мм.

При a = 0,95 имеем

Dх = ta × S_a = ± 2,26× 7,35× 10^-3 = ± 1,7× 10^-2 ( мм );

e _а = ;

а = 14, 819 ± 0, 017 мм.

При a = 0,99 получаем

Dх = ta × S_a = ± 3,25× 7,35× 10^-2 = ± 2,4× 10^-2 ( мм );

e _а = ;

а = 14, 819 ± 0, 024 мм.

Видно, что абсолютная и относительная погрешность результата десяти измерений стали почти в два раза меньше погрешностей пяти измерений.

Применение нормального распределения с s ² = S²_n дает в случае a = 0,95 ka = 1,96 и D х = 1,4 × 10- ² мм, а величина надежности понижается до 0,91; в случае a = 0,99 получаем ka = 2,58 и D х = 1,9 × 10- ² мм, а величина надежности понижается до a = 0,97.

Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается.

Контрольные вопросы

1. Цель математической обработки результатов эксперимента;
2. Виды измерений;
3. Типы ошибок измерения;
4. Свойства случайных ошибок;
5. Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее распределения является вероятнейшим значением?
6. Что такое истинная абсолютная и вероятнейшая ошибки отдельного измерения?
7. Что такое доверительный интервал случайной величины?
8. Что такое уровень значимости (надежности) серии измерений?
9. Геометрический смысл уровня значимости;
10. Почему при малом числе опытов нельзя погрешность измерений представить в виде D х = ± Ks _а?
11. Что является критерием “ случайности” большого отклонения измеряемой величины?
12. Чем определяется величина случайной ошибки косвенных измерений?
13. Чем определяется точность числовой записи случайной величины?