Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Основные дискретные и непрерывные законы распределения




Как отмечалось ранее, очень часто случайная величина распределена по нормальному закону. Но существуют и другие распределения, имеющие практическое значение. Рассмотрим некоторые из них по условиям возникновения и основным параметрам их характеризующим.

  1. Равномерное распределение вероятностей.

Пусть плотность вероятности А равна нулю всюду, кроме интервала (a; b), на котором она постоянна (рис. 6). Тогда можно записать

p (a < X < b) = A = .

Тогда дифференциальный закон равномерного распределения определяется

¦ (x) =

Интегральный закон распределения

F (x) = .

При х ³ b имеем

F (x) =

Таким образом интегральный закон равномерного распределения задается (рис. 6)

F (x) =

Основные характеристики распределения

М (X) = ;

D(X) =

=

=

.

  1. Биноминальное распределение

Пусть при некотором испытании событие А может наступить или не произойти (А). Обозначим вероятность А через р, а А через q = 1 -р ( других итогов испытания нет ). Тогда исходами двух последовательных независимых испытаний и их вероятностью будут:

АА - р2; АА - рq; АА - qр; АА - q2.

Отсюда видно, что двукратное появление события А равно р2, вероятность однократного появления - 2 рq, а вероятность того, что А не наступит ни разу - q2. Эти результаты единственно возможные и поэтому

.

Это рассуждение можно перенести на любое число испытаний.

Например, при трех испытаниях получим

.

Подсчитаем вероятность того, что при n испытаниях событие А появится m раз. Это может произойти, например, в последовательности

Ясно, что вероятность равна рmqn- m. Но m событий А может быть и в другом сочетании. Число всех возможных сочетаний из n элементов по m (количество событий А) равно числу сочетаний . Используя теорему сложения вероятностей получаем общую вероятность Рm,n наступления m событий А из n испытаний

Pm,n =

= .

Из этой формулы видно, что вероятности Рm,n для различного исхода испытаний (появление или не появление определенного результата А) определяется

pn + npn-1q + .

Коэффициенты перед вероятностями р, q являются биноминальными коэффициентами, а общая вероятность представляет слагаемые в разложении бинома ( р + q )n. Поэтому закон распределения случайной величины Х, в котором вероятность наступления событий А определяется коэффициентами бинома, называется биноминальным распределением дискретной случайной величины. Этот закон может быть задан в виде таблицы 1.

Таблица 1

Биноминальный закон распределения

хi   ... m ... n
pi qn npqn-1 ... ... pn

Биномиальные коэффициенты удобно получать с помощью треугольника Паскаля.

1 n = 0

1 1 n = 1

1 2 1 n = 2

1 3 3 1 n = 3

1 4 6 4 1 n = 4

1 5 10 10 5 1 n = 5

Все строки треугольника ( начинающегося с единицы ) начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа получаются сложением соседних чисел вышестоящей строки. Числа, стоящие в одной строке, являются биноминальными коэффициентами соответствующей степени.

Из описания биномиального распределения становится ясно, что область его действия там, где возможно многократное проведение испытаний с известной вероятностью.

Определим основные характеристики этого распределения.

Математическое ожидание

М (Х) =

+

+

= np (q + p)n-1 = np.

Дисперсия распределения может быть определена из общего выражения

,

но это приводит к громоздким вычислениям. В то же время случайная величина Х принимает в каждом опыте только два значения: 1, если событие А произошло и 0, если оно не произошло с вероятностями, соответственно, р или q. Тогда математическое ожидание одного опыта определится

М (Х1) = 0× q + 1×р = р = х

и соответственно дисперсия одного опыта

D (Х1) = (0 - р)2× q + (1 - р)2× р = р2q + q2р = рq (р + q) = рq.

Тогда дисперсия всех n опытов составит

D (X) = n× p× q.

  1. Закон Пуассона

В случае малых р ( или, наоборот, близких к 1 ) биноминальный закон распределения можно преобразовать следующим образом

,

где .

Определим предел Рm,n при n ® ¥ и постоянном m. Тогда пределы

равны единице, а .

Окончательно имеем

.

Это распределение называется законом Пуассона, где l - интенсивность распределения. Используется в задачах с редкими событиями.

Определим его основные характеристики и смысл величины l .

Запишем закон распределения в виде таблицы.

хi   ... m ...
pi e-l ... ...

M (X) =

+ .

Выражение в скобках есть разложение функции еl в ряд Маклорена.

Поэтому

М (Х) = lе- l еl = l .

Не рассматривая вывод отметим, что

D (Х) = l ,

т.е. дисперсия равна математическому ожиданию.

Рассмотренные виды распределений случайной величины, конечно, не исчерпывают всех существующих распределений. Можно назвать еще несколько: распределение Бернулли, экспоненциальное распределение, гамма - распределение, распределение Вейбула, гипергеометрические распределения и др. При определенных условиях и параметрах один вид распределения может переходить в другой. Поэтому при решении практических задач по законам распределения случайных величин следует обращаться к специальной литературе.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты