Проверка гипотезы вида закона распределения вероятностей

При проверке эксперимента закон распределения вероятностей случайных величин неизвестен и можно лишь предположительно судить о его виде . Выборочные оценки параметров распределения несут в себе случайные ошибки, искажающие истинный характер распределения. Поэтому после получения эмпирического распределения производится подбор теоретического закона распределения, пригодного для описания вероятностных свойств изучаемой случайной величины. Критерии подбора ( проверки гипотезы соответствия ) называют в статистике критериями согласия. Все они основаны на выборе допустимой меры расхождения между теоретическим распределением и выборочными данными.

Общую процедуру проверки гипотезы закона распределения можно представить в следующей последовательности:

1. По опытным данным строится эмпирическая кривая распределения вероятностей;
2. Определяются параметры эмпирического распределения ( в соответствии с его видом );
3. Выдвигается одна или несколько гипотез о функции плотности исследуемой случайной величины, исходя из внешнего вида эмпирической кривой, значений ее параметров, технических факторов, влияющих на ее вид;
4. Эмпирическая кривая выравнивается по одной или нескольким теоретическим кривым;
5. Проводится сравнение по одному или нескольким критериям согласия;
6. Выбирается теоретическая функция, дающая наилучшее согласование.

Поясним п. 4; 5. Определив по эмпирическим данным параметры распределения, подставляют их в теоретическую кривую закона распределения и рассчитывают вероятность середин интервалов эмпирического распределения. Умножив значение полученной вероятности на общее число опытов, получают теоретическое значение частот случайной величины, которые и определяют ² выровненную² кривую. Теперь можно найти вероятность того, что эмпирическая кривая соответствует выбранной теоретической, выбрав вероятность согласия ( уровень значимости ). Если результат расхождения не выйдет за принятый уровень значимости, то считают, что эмпирическое распределение согласуется с теоретическим. Если сравнение осуществляется с несколькими теоретическими законами, то окончательно принимать тот, который дает лучшее соответствие.

Чаще всего в качестве критериев согласия принимают критерий Пирсона ( c ² ) и критерий Колмогорова - Смирнова ( К - С - критерий ).

Критерий c ² является наиболее состоятельным при большом числе наблюдений. Он почти всегда опровергает неверную гипотезу, обеспечивает минимальную ошибку в принятии неверной гипотезы по сравнению

с другими критериями.

c ² = ,

где m_{j -} наблюдаемая частота случайного события;

m* _j - ожидаемая по принятому теоретическому закону распределения;

К - число интервалов случайной величины.

Затем определяется число степеней свободы l:

l = К - r - 1;

где К - число интервалов случайной величины;

r - число параметров теоретической функции распределения.

К - С - критерий лучше всего использовать в случае, если теоретические значения параметров распределения известны. При неизвестных параметрах его можно использовать, но он дает несколько завышенные результаты. При использовании этого критерия определяется величина

,

где

m^н_j, m*^н_j - соответственно, накопленные наблюдаемые и ожидаемые

(теоретические) частоты;

n - число проведенных опытов.

То есть, в данном случае оценивается только максимальное отклонение накопленной частоты случайного события, возникающее в одном из диапазонов изменения случайной величины. Полученное значение коэффициента сравнивается с табличным для числа степеней свободы опыта и принятого уровня значимости результата. Если табличное значение коэффициента больше, то гипотеза о принятом законе распределения не отвергается.

Контрольные вопросы

1. Сущность непрерывной и дискретной случайной величины;
2. Сущность интегрального закона распределения случайной величины;
3. Сущность дифференциального закона распределения случайной величины;
4. Связь интегрального и дифференциального законов распределения;
5. Основные характеристики случайной величины, заданной своим распределением;
6. Назовите примеры законов распределения непрерывной и дискретной случайной величины;
7. Понятие статистической гипотезы и статистического критерия;
8. Назовите примеры статистических гипотез;
9. Сущность ошибок первого и второго рода;
10. Сущность проверки гипотезы вида закона распределения;
11. Принципиальное различие в критериях Пирсона и Колмогорова - Смирнова.