Функциональные шкалы и их применение

Пусть функция y = ¦ (х) непрерывна и монотонна на некотором промежутке [ a; b ]. Возьмем ось ОМ, на которой будет строиться шкала, выберем на ней точку начала отсчета О и установим масштаб m . Функциональная шкала строится следующим образом.

Разбив интервал [ а; b ] на равные части, вычисляем значение функции ¦ (х) в каждой из точек деления и отложим на оси ОМ для каждой точки отрезок m ¦ (х). Получающаяся при этом точка снабжается отметкой х, т.е. откладывается в выбранном масштабе значение функции, а надписывается значение аргумента.

Иногда начало шкалы помещают в первую точку отсчета, т.е. точку с надписью а совмещают с 0. Тогда точка х будет находиться в конце отрезка m [ ¦(х) - ¦(а) ] . Полученная шкала позволяет судить о поведении функции на рассматриваемом участке: большие промежутки между отметками укажут, что функция изменяется быстрее, чем там, где эти промежутки малы.

Выбор масштаба m определяет длину шкалы. Чаще поступают наоборот: задаются длиной шкалы l и определяют масштаб.

Þ m = .

Пример. Построим функциональную шкалу для функции y = x² на участке [ 1; 2 ]. Зададимся длиной шкалы l = 12 см. Тогда m = см. Разобьем отрезок [ 1; 2 ] на десять равных частей и вычислим значения функции во всех точках деления. Совместим начало шкалы с точкой отсчета х = 1. Результаты расчета сведены в табл. 2, а функциональная шкала приведена на рис. 11.

Таблица 2

Расчет функциональной шкалы y = x²

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Рис. 11. Функциональная шкала y = x²

С помощью функциональных шкал графики многих функций могут быть преобразованы к прямолинейному виду.

Например, уравнение параболы y = x². Если на оси OY нанести равномерную шкалу, а на оси OX₁ шкалу квадратов х₁ = х², то получится сетка, где уравнение параболы имеет изображение прямой линии ( y = x₁ ),

проходящей через начало координат.

Особенно часто используются различные логарифмические функции, с помощью которых можно ² выпрямлять² графики степенных и показательных функций. Например, y = ae^bx; lg y = (b lg е) х + lg a. Полагая lg y = y₁, lg a = A, b lg e = B запишем исходное уравнение в виде y₁ = А + Вх, откуда видно, что оставив равномерной шкалу х и построив логарифмическую шкалу y₁, можно изобразить исходное уравнение прямой линией. Полученная координатная сетка называется полулогарифмической.

Очевидно, что такого рода преобразования возможны и в более общем случае. Всякая неявная функция, заданная соотношением вида

аj (х) + by (y) + с = 0,

где a, b, с - постоянные, будет изображаться прямой линией на функциональной сетке, где на оси ОХ построена шкала j (х), а на оси OY - шкала функции y (y). Естественно, что функции j (х) и y (y) должны удовлетворять условиям непрерывности и монотонности. В табл. 3 приведены преобразования для некоторых функций.

Таблица 3

Линеаризация некоторых функций

Исходная формула	Преобразованная формула	Замена переменных	Линеаризованная формула
y=axb	lg y=b× lgx+lga	lg y=y1 lg x=x1 lg a=a1	y1=bx1+a1
y=a× lgx+b	¾	lg x=x1	y=ax1+b
y=ebx+k	lg y=b× lge× x+k× lge	lg y=y1 b× lg e=a k× lg e=k1	y1=ax+k1
y=aebx	lg y=bx× lge+lga	lg y=y1 b× lg e=b1 lg a=a1	y1=b1x+a1
y=	¾		y=ax1+b
y=			y1=ax+b
y=			y1=bx1+a

Из сказанного ясна роль функциональных сеток при обработке результатов эксперимента. Если результаты эксперимента располагаются вблизи кривой, то по имеющемуся ограниченному участку кривой трудно судить, какого типа функцией ее лучше всего приближать. Переведя полученные экспериментальные данные на функциональные сетки можно оценить на какой из них эти данные ближе всего подходят к прямой и, следовательно, какой функцией лучше всего описываются.