Аналитические методы обработки результатов

Графический метод обработки результатов обладает наглядностью, относительной простотой, однако его результаты содержат определенную субъективность и относительно низкую точность.

Аналитические методы лишены в какой - то степени указанных недостатков и позволяют получить результат для более широкого класса функций с большей точностью, чем графический метод.

Существуют различные аналитические методы получения параметров эмпирических кривых в зависимости от критерия, принятого при их получении. Рассмотрим некоторые из существующих способов.

3.3.1.Способ средней

Допустим, что имеется n сочетаний x_i, y_i, полученных при эксперименте. Даже в том случае, если между х и y теоретически установлена функциональная связь ( в данном случае предположим, что линейная ), то наблюдаемые значения y_i будут отличаться от ах_i + b вследствие наличия экспериментальных ошибок. Обозначим через D _i соответствующую ошибку

D _i = y_i - ax_i - b (i = 1, 2, ..., n)

Если выбирать параметры а и b так, чтобы для всех n наблюдений ошибки уравновешивались, т.е. , то это привело бы нас к одному уравнению, тогда как для нахождения двух коэффициентов (а, b) их требуется два. Поэтому предположим, что уравновешивание происходит не только для всех произведенных наблюдений в целом, но и для каждой группы, содержащей половину ( или почти половину ) всех наблюдений в отдельности.

В этом случае можно прийти к системе уравнений

,

где m - число наблюдений в первой группе.

Данную систему уравнений запишем теперь в виде

.

Изложенное показывает, что метод средних ² уравновешивает² положительные и отрицательные отклонения теоретической кривой от экспериментальных значений.

Пример.Используя данные рис. 10 определим коэффициенты а, b методом средней. Для этого семь измерений разделим на две группы m = 3 первых значений, n - m = 4 последующих

; ;

; .

Получаем систему

Решая систему находим

^;

b =

Таким образом способ средней дает прямую

y = 0,55х + 3,11.

В сравнении с графическим способом коэффициенты а совпадают и имеется различие в коэффициенте b.

3.3.2. Метод наименьших квадратов

В методе средних при определении коэффициентов уравнения использовалось условие равенства нулю алгебраической суммы отклонений результатов эксперимента от теоретической кривой ( в частном случае прямой ). Очевидно, что при этом D _i могут быть значительной величины. Имеет значение только ² уравновешивание² положительных и отрицательных отклонений.

Поставим теперь задачу нахождения по результатам наблюдений наиболее вероятные значения неизвестных коэффициентов.

Предположим, что искомая зависимость y = ¦(х) существует. Тогда параметры этой линии необходимо выбрать таким образом, чтобы точки y_i располагались по обе стороны кривой y = ¦(х) как можно ближе к последней. Предположим, что разброс точек y_i относительно y = ¦(х) подчиняется закону нормального распределения. Тогда мерой разброса является дисперсия s ² или ее приближенное выражение - средний квадрат отклонений.

.

И требование минимального разброса будет удовлетворено, если минимизировать выражение ( D y_i )². Как известно, необходимым условием того, что функция приобретает минимальное значение, является то, что ее первая производная ( или частные производные для функции многих переменных ) равна нулю. Применение метода наименьших квадратов имеет смысл, если число экспериментальных точек n больше числа определяемых коэффициентов.

Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида y = ax + b.

Для нахождения коэффициентов а, b искомой прямой необходимо минимизировать сумму квадратов расстояний D y_i по ординате от точки (х_i; y_i) до прямой ( см. рис. 12 ). Расстояния D y_i определятся

D y_i = y_i - ax_i - b.

Для минимизации приравниваем к нулю производные этой суммы по параметрам а, b:

;

.

Преобразуем эту систему

Получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов.

Решая ее относительно а, b получаем:

; .

Вычисляя из n опытов необходимые суммы и производя указанные действия, получаем величину коэффициентов а, b.

Как видно, способ наименьших квадратов достаточно громоздок и при его применении широко используется вычислительная техника. Метод наименьших квадратов может использоваться и в случае нелинейных функций. Например, если определяются параметры квадратичной зависимости:

y = ах² + bx + с,

то

.

Дифференцируя это соотношение по а, b, с получаем систему нормальных уравнений:

Из этой системы можно определить параметры а, b, с.

При использовании метода наименьших квадратов при других нелинейностях, удобнее будет линеаризовать исходные зависимости.

В табл. 4 приведены системы нормальных уравнений для некоторых исходных уравнений.

Таблица 4

Системы нормальных уравнений

Исходное уравнение	Система нормальных уравнений
y=axb
y=a× lgx+b
y=eax+b
y=aebx
y=
y=
y=

Примечания: 1. Величины х, y обозначают значения величин х_i, y_i в i-ом опыте;

1. Знак S обозначают сумму величин от i = 1 до i = n, где n - число равноточных измерений.

1. Интерполирование функций

Известно, что под интерполированием понимают отыскание значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице логарифмов, тригонометрических и др. функций.

В общем смысле можно сказать, что задача интерполирования обратна задаче табулирования функций. При интерполировании по таблице значений функции строится ее аналитическое выражение, т.е. по значениям функции y_o, y₁, ..., y_n при значениях аргумента х_о, х₁, ..., х_n определяется выражение неизвестной функции.

Понятно, что через данные точки ( даже большого числа ) можно провести множество различных кривых. Поэтому существует интерполирование в различных функциях F (х). Чаще всего требуют, чтобы функция F(х) была многочленом степени на единицу меньшей, чем число известных значений.

Таким образом, задачу интерполирования функций можно сформулировать следующим образом.

Для данных значений х º х_о, х₁, ..., х_n и y º y_o, y₁, ..., y_n найти многочлен y = F (х) степени n, удовлетворяющий условиям F (х_о) = y_o, F (х₁) = y₁, ..., F (х_n) = y_n. Точки х_о, х₁, ..., х_n называют узлами интерполяции. Многочлен F (х) - интерполяционным многочленом , а формулы его построения - интерполяционными формулами.

Как видно из описания сущности интерполирования, в отличии от описанных ранее способов получения функций ( графического, метода средних, метода наименьших квадратов ), интерполяционный многочлен опишет кривую, проходящую точно через заданные точки.

1. Параболическое интерполирование

При параболическом интерполировании в качестве интерполяционного многочлена F (х) принимают многочлен n - ой степени вида

F (х) = а_о + а₁х + а₂х² + ... + а_nxⁿ.

Используя свойство прохождения функции F (х) через заданные точки для неизвестных коэффициентов а_i можно составить n + 1 уравнений с n + 1 неизвестным:

а_о + а₁х_о + а₂х_о² + ... + а_nх_оⁿ = y_o;

а_о + а₁х₁ + а₂х₁² + ... + а_nх₁² = y₁;

....................................................

а_о + а₁х_n + а₂х_n² + ... + а_nх_n² = y_n.

Эта система имеет единственное решение, если значения х_i отличны друг от друга. Понятно, что при большом n возникает сложность решения этой системы. Перед рассмотрением общего способа решения, рассмотрим простой пример.

Дано: х_о = 0, х₁ = 1, х₂ = 2, y_о = 1, y₁ = 1, y₂ = 3. Определить многочлен F (х).

Записывая многочлен F (х) в виде

F (х) = а_о + а₁х + а₂х²

составим систему уравнений

или

откуда а_о = 1, а₁ = - 1, а₂ = 1 и интерполирующий многочлен имеет вид

F (х) = 1 - х + х².

Теперь рассмотрим общий подход к отысканию интерполяционного многочлена F (х), не решением системы, а непосредственной записью.

Определим выражение для многочлена, принимающего в точке х = х_о значение y_о = 1, а в точках х = х₁, х₂, ..., х_n - значения y₁ = y₂ = ... = y_n = 0. Очевидно, что многочлен будет иметь вид

.

Здесь при х = х_о числитель и знаменатель равны, а при х = х₁, х₂, ..., х_n - числитель равен нулю.

Теперь построим многочлен F_о (х), принимающий в точке х_о значение y_о и обращающийся в нуль для значений х = х₁, х₂, ..., х_n. Учитывая предыдущее построение можно записать

.

Теперь можно записать многочлен F (х) для произвольного значения х_i ( i = 0, 1, 2, ..., n ) принимающего значения F (х_i) = y_i, а во всех остальных точках х ¹ х_i значение, равное нулю

.

Как видно из записи, числитель не будет содержать выражения (х - х_i), а знаменатель - (х_i - х_i), т.е. выражений, обращающих числитель и знаменатель в нуль.

Искомый многочлен будет равен сумме

,

т.е. снова в каждой точке х_i одно из слагаемых принимает нужное значение y_i, а все остальные обращаются в нуль.

В развернутом виде

=

... + .

Полученная формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Используя формулу Лагранжа запишем многочлен F (х) для разобранного выше примера.

=

= .

Получили тоже самое выражение, что и ранее.

Контрольные вопросы

1. Назначение графического метода обработки результатов;
2. Сущность графического метода обработки результатов;
3. Понятие и назначение функциональной шкалы;
4. Выбор масштаба функциональной шкалы;
5. Сущность аппроксимации методом средних;
6. Сущность аппроксимации методом наименьших квадратов;
7. Принципиальное отличие метода интерполирования от метода наименьших квадратов.