Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности

Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х отличается от среднеарифметического a на некоторую величину D x. На рис. 2 представлено расположение истинного значения Х и а, полученного из некоторых измерений а₁, а₂, а₃.

Ясно, что случайные величины а₁, а₂, а₃ обусловят случайный характер абсолютной погрешности D x результата серии измерений, которая будет распределена по закону Гаусса:

.

Тогда вместо выражения Х = а ± Dх можно записать а - Dх £ Х £ а + D .

Интервал (а - Dх; а + D х), в который по определению попадает истинное значение X называют доверительным интервалом. Надежностью ( уровнем значимости) результата серии измерений называется вероятность a того, что истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал. Вероятность a выражается в долях единицы или процентах. Графически надежность отражается площадью под кривой нормального распределения в пределах доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор надежности определяется характером производимых измерений. Например, к деталям самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору, а к последнему значительно больше, чем к ручной тачке. При обычных измерениях ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для любой величины доверительного интервала ( выраженного в долях s ) по формуле Гаусса может быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей литературе по теории вероятности. На рис. 3 представлены значения надежности a при величине доверительного интервала ± s , ± 2s , ± 3s. Эти значения доверительной вероятности рекомендуется запомнить.

По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности D x может быть представлена в виде К× s _а, где К некоторый численный коэффициент, зависящий от надежности a . Однако это справедливо лишь для большого ( бесконечного) числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина s _а неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного интервала при малом n вводится новый коэффициент t a . Этот коэффициент предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом ² Стьюдент ² .

И коэффициент t a назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент Стьюдента отражает распределение случайной величины t = при различном n. При n® ¥ ( практически при n ³ 20 ) распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся практически во всей литературе по теории вероятности.

Зная величину t a можно определить величину абсолютной погрешности D х = t× S_a . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не определяет точность измерений. Точность измерений характеризует относительная погрешность, равная отношению абсолютной погрешности D x результата измерений к результату измерений а: e = ± Dх / а. .