![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Гипергеометрический закон распределения.Чаще встречается на практике выборка без возврата. Вероятность появления x бракованных изделий в выборке объемом n, взятой из партии объемом N, содержащей бракованных изделий Эта формула определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим. Числовыми характеристиками распределения являются: мат.ожидание и дисперсия. Для доли бракованных изделий в выборке: Необходимый объем выборки определяется из выражения:
При больших объемах партий, первое слагаемое
В качестве модели выборочного контроля можно применять закон распределения вероятностей Пуассона:
Закон однопараметрический, имеет числовые характеристики: Замена этим законом биномиального распределения допустима при небольших объемах выборок. Т.е. вероятность события очень мала( При больших объемах выборок законом Пуассона заменяют гипергеометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение Пусть в урне имеется N шаров, из которых M белые, а N-M чёрные. Выберем наугад из этой урны группу из n шаров (не возвращая вынутых шаров в урну и не интересуясь порядком шаров внутри группы). Обозначим через pm,n вероятность того, что в рассматриваемой выборке будет ровно m белых шаров. Тогда можно записать pm,n= Случайная величина m может принимать значения от 0 до n. Распределение этой величины m называется гипергеометрическим, а уравнение (1) характеризует закон этого распределения. Гипергеометрическое распределение используется в теории статистического контроля качества – оно даёт распределение доли брака в выборке из контролируемой партии. Гипергеометрическое распределение характеризуется тремя параметрами N, M и n (величина m является случайной переменной). Удобно в качестве параметров гипергеометрического распределения рассматривать N, n и P= где p – вероятность того, что первый вынутый шар будет белым. При этих параметрах математическое ожидание и дисперсия случайной величины m запишутся в таком виде: M(m)=np, (3)
где q=1-p. Рассмотрим такой случай, когда числа n и p фиксированы, а объём N совокупности неограниченно возрастает. Тогда из уравнений (3) и (4) следует, что математическое ожидание m будет оставаться неизменным, а дисперсия будет возрастать, стремясь к пределу, равному npq. При этом гипергеометрическое распределение стремится к биномиальному. Заметим, что при n Биномиальное распределение Пусть в урне имеется n1 белых и n2 чёрных шаров. Вероятность извлечения из урны белого шара p= а вероятность извлечения чёрного шара q= Очевидно, что имеет место соотношение p+q=1. (3) Проведём серию таких опытов: вынем из урны шар, запишем его цвет, положим его обратно в урну, перемешаем все шары, снова вынем шар и т.д. Возвращение шаров в урну нужно для того, чтобы вероятность извлечения белого шара (или чёрного) не изменялась от опыта к опыту. Пусть в серии опытов мы проводим извлечение из урны n шаров. Обозначим через вероятность того, что ровно m из вынутых n шаров будут белыми (m pm,n= Число m белых шаров в серии из n опытов является случайным. Это число m может принимать следующие значения: 0; 1; 2; 3; ….; n-1, n с соответственными вероятностями p0,n p1,n p2,n … pn,n. Таким образом, уравнение (4) определяет собой распределение вероятностей случайного числа m, которое называется биномиальным. Биномиальное распределение находит применение при статистическом контроле качества, в теории стрельбы и других областях. Из уравнения (4) следует, например, что p0,n=qn, pn,n=pn. (5) Вероятность того, что в серии из n опытов ни разу не появится белый шар, будет p0,n. Вероятность того, что в серии из n опытов белый шар появится хотя бы один раз, будет очевидно, p’=1- p0,n=1- qn=1-(1-p)n. (6) Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения запишутся в виде M(m)=np Если вместо случайной величины m рассматривать случайную частость X= то из уравнений (7) и (8) получим M(x)= Функцию распределения запишем F(m’)=Вер{m Как видно из уравнений (4) и (12), функция F(m’) зависит от трёх аргументов: m’, n и p. Поэтому составление таблиц для F(m’) является громоздким. Непосредственное вычисление F(m’) по уравнениям (4) и (12)является затруднительным при достаточно больших n и m’. Однако здесь можно воспользоваться тем, что при n F(m’)=F0 ( Распределение Пуассона Обозначим для краткости математическое ожидание Рассмотрим частный случай. При m=2 получим p2,n= При больших n и малых p из уравнения (2) приближённо имеем p2,n= Действуя аналогичным образом, получаем для произвольного m Уравнение (3) определяет собой распределение Пуассона (распределение редких событий). Этим уравнением можно пользоваться для случаев малых p, а для случая p, близких к единице, будет мало q=1-p, и тогда вместо уравнения (3) можно написать аналогичное уравнение Распределение Пуассона хорошо сходится с биномиальным распределением. Распределение Пуассона имеет существенное преимущество для составления таблиц перед биномиальным распределением: в уравнение (3) входит только один параметр a=np, в то время как в уравнении 4 для биномиального распределения входят два параметра n и p. Распределение Пуассона часто используется на практике как заменитель биномиального распределения. Кроме того, распределение Пуассона имеет самостоятельное значение. Справедливо следующее положение: если вероятность появления события в малом промежутке времени Указанное выше положение можно сформулировать в иной форме: если вероятность появления события на малой площади Так, например, число осколков снаряда или ракеты, попадающих в цель, часто распределяется по закону Пуассона. В силу этого распределение Пуассона широко используется в теории стрельбы. Для распределения Пуассона дисперсия равна математическому ожиданию:
|