Модели производственных затрат и прибыли предприятия. Точка безубыточности.

Простейшая экономико-математическая модель производства основана на том, что общие издержки С(х) на производство продукции в количестве хединиц, состоят из двух частей:

- постоянные издержки (С₀)

- переменные (пропорциональные) издержки (С₁=bx),

где b – расходы (сырья, материалов, энергии) в расчете на одно изделие в денежном выражении.

Модель совокупных издержек имеет вид:

C(x)=C₀+bx.

Параметры этой модели (C₀ и b) определяются

обычно одним из двух способов:

• нормативным (отчетным);

• из уравнения регрессии.

а) При использовании нормативного (отчетного) способа параметры задаются при описании технологии производства и статей производственных расходов или на основании отчетных данных.

Пример. Дано, что постоянные затраты C₀ составили 500 тыс.руб. в месяц, а переменные расходы «b» в расчете на одно изделие - 6 тыс.руб.

Тогда линейная модель затрат имеет вид:

C(x)=500+6x.

б) При помощи разработки линейного уравнения регрессии по статистическим данным.

Пример. Имеется таблица наблюдений

Применяя методы регрессионного анализа получим уравнение:

C(х)=4,71+0,57x

Линейная модель прибыли строится на основе данных о валовом доходе и производственных затратах:

PR(x) = px - C(x)

где px– валовой доход, PR – величина прибыли.

Линейная модель прибыли имеет вид:

PR(x)=px - C₀ – bx = -C₀ +(p-b)x .

Анализ этой формулы дает следующие результаты:

а) Если pb (цена изделия не превышает удельных переменных затрат), то PR0.

Производство не является прибыльным при любом количестве изделий.

б) Если p>b, то определяется точка безубыточности x₀, т.е. количество изделий, которому соответствует прибыль, равная нулю:

Для всех xx₀ производство убыточно PR0 ; для всех x>x₀ производство прибыльно PR>0.

При увеличении цены p точка безубыточности смещается влево. Безубыточность достигается при меньшем количестве изделий (см. линию Б1).

Квадратичная модель затрат включает, кроме постоянных (С₀) и переменных (С₁) затрат, еще «сверхпропорциональные» затраты (С₂), в составе которых учитываются затраты на расширение производства, оплата сверхурочного труда и т.п.

Для математического описания этого вида затрат используется степенная зависимость от объема выпуска С₂=kx²,

где k>0 – параметр модели.

Таким образом, квадратичная модель затрат имеет вид:

С(х)=C₀+ C₁+ C₂= C₀+bx+kx².

График функции С(х)=C₀+ C₁+ C₂= C₀+bx+kx²

представляет собой монотонно возрастающую параболическую функцию при x 0.

Для характеристики скорости возрастания издержек по мере роста выпуска продукции (х) используются понятия приростных и маргинальных издержек.

Приростные издержки вычисляются по формуле C=С(x+1)-C(x),которая характеризует затраты на выпуск дополнительной единицы продукции.

Маргинальными издержками называют приростные издержки в дифференциальной форме. Они вычисляются с использованием производной от функции затрат:

МС=С’(x)=b+2kx