Понятие первообразной. Определенный интеграл

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка выполняется такое равенство

F’(x)=f(x)

F(x)=x³/3 f(x)=x²

F’(x)=(x³/3^)’=3x²/3=x²=f(x)

Геометрическим смыслом производной от первообразной является угловой коэффициент касательной к этому графику (т.е. кривой) в точке с абсциссой х.

Геометрически найти первообразную для функции f(x), значит найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f(x) заданной функции в этой точке.

Если F₁(x) и F₂(x) – первообразны для функций f(x) на некотором промежутку х, то найдется такое число С, то будет справедливо равенство:

F₂(x)= F₁(x)+C

Совокупность всех первообразных для функций F(x) на промежутке х называется неопределенный интеграл от функции f(x) и обозначается

-знак интеграла

f(x) - подинтегральная функция

f(x)dx - подинтегральное выражение

Таким образом, по определению,

Определенный интеграл:

y=f(x), x=a, x=b, Ox

S_n≈S, S_n→S, n→∞

Фигура ABCD, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), с 2-х боковых сторон прямыми х=а, х=в, а снизу-осью Ох называется криволинейной трапецией.

Отрезок ab-основание криволинейной трапеции

Сумма площадей n-прямоугольников, составляющая S криволинейной трапеции.

Сумма площадей этих прямоугольников-определенный интеграл

S=_a∫^b f(x)dx

Определенный интеграл — это аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых — интегрируемая функция или функционал, а вторая — область во множестве задания этой функции.
Проще говоря, это интеграл, численно равный площади части графика функции в пределах от a до b, т. е. площади криволинейной трапеции.

Пример.

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.