Понятие последовательности и ее предел.

Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

или

иногда используются фигурные скобки:

.

Пример: числовые последовательности:

1) 1,2,…, n,…;

2) 1,-1,1,-1,…,(-1)n,…;

3) 1,1/2,1/3,…,1/n,….

Опр. Числоа называется пределом последовательности , если для каждого >0 существует такой номер , что для всех выполняется неравенство:

Если а — предел последовательности, то пишут: ...

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся.

Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность имеет предел, равный а, тогда и только тогда, когда последовательность имеет предел, равный нулю, т. е.:

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности , если:

.

решение:

Докажем, что . Так как , то . Возьмем произвольное число . Неравенство будет выполняться, если . Выберем в качестве какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию , например, число . Тогда для всех будет выполняться неравенство . По определению предела это означает, что .