Композиционное правило вывода.

Это правило является решающим в нечёткой среде и является обобщением известной процедуры на нечёткие множества:

Заданы следующие предпосылки:

1. y = f(x);

2. x = a.

y = f(a) = b - вывод

Распространим эту процедуру, когда функция является интервальной, аргументы тоже являются интервальными:

- полное множество

F(x,y) – данную функцию можно считать как нечёткое бинарное отношение на декартовом произведении 0X*0Y.

- цилиндрическое множество

Пусть задано следующее:

Строим:

Нужно определить: , для чего выполняем следующее - по определению, так как - цилиндрическое множество.

- композиционное правило вывода на языке выражений (функция принадлежности).

Запишем его теперь на языке множеств.

Пусть R^|(x), R^|(x,y), R^|(y) – ограничения на переменные x, (x,y), y, которые являются нечёткими множествами на множествах X, XxY, Y.

Пусть A^| и F^| - нечёткие множества на X и XxY, тогда композиционное правило утверждает, что уравнения назначения: предпосылки Þ ; и решения их относительно Y имеет вид R(y) = A^| ° F^| - вывод.

Пример, пусть X=1+2+3. Множество и второе уравнение назначения:

			3
		0.7	0.3
	0.7		0.7
	0.3	0.7

Тогда можем вычислить характеристики нечёткого отношения R^|(y) = “малый” ° “приблизительно равны” = .

Правило modus ponens как частный случай композиционного правила вывода. <A→B> - истина и <A> - истина, то <B> - истина. Это силогизм – дедуктивное умозаключение, в котором одно суждение является необходимым следствием двух других.

В обычных рассуждениях выражение “если A, то B” употребляется в ситуациях, когда A и B – нечёткие понятия. Например, если помидор – красный, то он – спелый. Чтобы обобщить понятия импликации на нечёткие подмножества, предположим, что X, Y – чёткие множества, на которых задаются нечёткие множества A^|, B^|, C^|. Если A^| то B^| иначе C^|

Определение (по Заде). Высказывание “если A^| то B^| иначе C ^|” – это бинарное нечёткое отношение на XxY и определяется следующим образом: .

Если A^| то B^| иначе C^| - частный случай при допущении, что C^| - полное множество, то есть C^| = Y.

То, что после “если” – онтецедент, после “то” – консеквент. В сущности, последнее правило равнозначно “если A то B иначе безразлично”.

Рассмотрим пример:

X=Y = 1+2+3

Если A^| то B^| иначе C^| = (1/1+0.4/2)x(0.4/2+1/3)È(0.6/2+1/3)x(1/1+

Если A^| то B^| (1/1+0.4/2)x(0.4/2+1/3)È(0.6/2+1/3)x(1/1+1/2+1/3).

Рассмотрим связь между правилом modus ponens и композиционным правилом вывода и определим обобщённое правило modus ponens.

Определение. Пусть - нечёткие подмножества множеств X, X, Y. Предположим, что назначена отношению R(x,y), , то получим следующие уравнения:

- правило

- факт

- обобщённое правило modus ponens

Эти уравнения назначения в композиционном правиле вывода в отношениях можно разрешить относительно ограничения на Y.

Приведённая формулировка отличается от классической:

1. - нечёткие множества;

2. не обязательно идентично ;

3. Если импликацию задавать по Заде , то - если это чёткие множества.

Пример:

X=Y = 1+2+3

“средний” ° (“малый” → “большой”) = (0.6 0.6 0.6)