Методы принятия решений на основе аналитико-сетевого процесса.

Аксиома №1 связана с обратными значениями.

Аксиома №2 связана с гомогенностью.

Аксиома №3 связана с иерархической композицией.

Последняя аксиома требует тщательной экспертизы в отличие от первых двух. В задаче выбора предпочтительных альтернатив всегда зависит от элементов более высшего уровня, в то время как важность целей может зависеть от элементов нижнего уровня. Если это имеет место, то третья аксиома не применима, то есть в этом случае имеет место проблема, структура которой имеет обратную связь, что может быть описано в виде орграфа (сети):

Обычно один из кластеров объединяет альтернативы.

Этап I: принцип идентичности и декомпозиции. На начальном этапе исследования должна быть чётко сформулирована цель, в терминах которой будут определяться основные подходы к категориям (кластеры, элементы, суждения). Элементы задачи принятия решения, критерии, атрибуты объединяются в кластеры, между которыми возможны произвольные связи. Кластер имеет внешнюю зависимость, когда его элементы или хотя бы один связан с элементами, которые тоже могут быть кластерами. Кластер может иметь внутреннюю зависимость (E), когда его элементы связаны с другими элементами в том же классе, например, в E. Таким образом, кластеры в АСП обычно не являются простой совокупностью элементов. Они представляют обычную систему и тем самым отличаются от элементов (Эмердженстность (целостность): свойства системы не являются простой суммой свойств составляющих её элементов). Формирование кластеров и связей – неформальная процедура и осуществляется ЛПР и экспертом на основе конкретных знаний и специфики решения задачи. Итог – граф, вершинами которого являются кластеры, а дуги отражают влияние кластеров друг на друга.

,

; ;

;

Здесь N – количество кластеров; k_i – количество элементов в i-ом кластере; M – общее количество элементов; .

Этап II: реализуется принцип дискриминации сравнительных сужденийи заключается в построении МПС сначала для кластеров, а затем для элементов. Иерархии, используемые в АИП, связаны с распространением качества (целей) среди сравниваемых элементов, то есть, чтобы определить у какого из них количество данного качества преобладает. Сети связаны с распределением влияния элементов на некоторые другие элементы относительно данного качества (цели), то есть влияние – ключевое качество. Степень влияния кластеров друг на друга сводится к формированию матрицы NxN:

ij			…	N
				= V = {Vij}; ;
…
N

Заполнение происходит по столбцам. В j-ом – веса влияния j-го кластера, полученного в результате обработки МПС на все остальные кластеры в соответствии с графом. Если кластер не влияет на какой-нибудь другой, то в матрице там ставится 0, если же влияет только на один кластер, то записывается 1.

Для каждого столбца рассматриваемой матрицы может быть построена МПС, при заполнении которой эксперт отвечал на вопросы: на какой из сравниваемых кластеров в указанных строках рассматриваемый кластер, обозначающий процесс, оказывает большее влияние и на сколько большее относительно цели.

Следующий шаг: формирование матриц парных сравнений уже для элементов кластеров и вычисление их приоритетов, на основании которых формируется супер матрица размерностью MxM.

Рассмотрим блок заполнения матрицы W_ij размерностью K_iKj. Заполнение – по столбцам.

1. Если j-ый кластер не влияет на i-ый, то блок размерностью k_ixk_j заполняется нулями.

2. Если влияет, то может быть два варианта: элемент j.k_j не влияет на i.k_i, тогда столбец j.k_j заполняется 0; если же влияет, то в данный столбец записываются веса влияния, полученные в результате обработки МПС на элементы i.k_i.

После формирования получают взвешенную матрицу W_* путём умножения каждой блочной матрицы W_ij на V_ij, полученной при рассмотрении задачи влияния кластеров. Такая нормировка суперматрицы даёт свойство: сумма значений каждого столбца W_* равна 1.

Этап III: синтез. Нас интересуют приоритеты двух типов, которые показывают влияние одного элемента на любой другой и известны, как относительные приоритеты; другие приоритеты – абсолютные приоритеты любого элемента безотносительно того на какие элементы он влияет. Третий этап определяет абсолютные приоритеты, которые соответствуют устойчивому предельному состоянию системы с обратными связями. Определение такого устойчивого состояния основывается на теореме: если W_* - примитивная и стохастическая по столбцам, то имеет место: ; k = 1, 2, ... Здесь w – матрица, имеющая одинаковые столбцы, единственный вектор равновесной вероятности, элементы которого не меняются при дальнейшем увеличении изменения степени. Если матрица имеет единственный собственный вектор, то данная матрица – примитивная.

Неотрицательная матрица W_* - стохастическая тогда и только тогда, когда решением уравнения e*W_* = e, где e = (1,1, ..., 1) является единственный вектор. Максимальное собственное число l_max = 1.

Столбец из матрицы w и связывается с абсолютными предельными приоритетами, которые можно интерпретировать как прогнозируемые значения вклада рассматриваемых факторов в цель с учётом их взаимного влияния. Показатель, который может иметь высокое значение – большее значение, так как накапливает в себе влияние других факторов.

Основные идеи в поддержку АСП:

1. Не постулируются предположения о независимости элементов высоких уровней от элементов более низких уровней и независимость элементов в пределах уровня. Следовательно, АИП рассматривается как частный случай АСП.

2. АСП располагает по приоритетам не только элементы, но так же и кластеры элементов.

3. АСП не линейная структура, которая имеет дело с истоками, циклами и стоками. Иерархия же линейная с целью на верхнем уровне и альтернативами на нижнем уровне. Это тоже различие.

4. АСП, можно сказать, более свободная структура, делает возможным представление любой проблемы без учёта (как это требует АИП): что необходимо выполнить сначала, а что после.

Рассмотренный подход прогнозирования имеет ряд преимуществ. Важнейшие из них:

-возможность построения модели на основе экспертной информации, в том числе учёт влияния качественных факторов (в отличие от различных статистических подходов);

-возможность проверки различных гипотез в структуре интенсивности влияния различных факторов.

15. Применение нечетких множеств в СППР. Обоснование подхода. Принцип несовместимости. Элементы теории нечетких множеств.

Согласно глубоко укоренившейся традиции научного мышления, начиная с Декарта, понимание какого-либо процесса или явления отождествляется с возможностью его количественного анализа. В настоящее время, однако, правомерность такого анализа, основанного на использовании дифференциальных или конечно-разностных уравнений для описания систем, в которых участвует человек (слабоструктурированных и неструктурированных), подвергается сомнению.

Системы, неотъемлемым (или даже основным) фактором которых является именно человек и его суждения, относятся к классу так называемых слабоструктурированных систем (СС-систем), для которых обычные количественные методы анализа и описания не применимы по своей сути. В основе этого тезиса лежит принцип несовместимости, сформулированный Заде, который утверждает, что чем сложнее система, тем менее мы способны дать точные и в то же время имеющие практическое значение суждения. Для систем, сложность которых превосходит некоторый пороговый уровень, точность и практический смысл, т.е. содержательность, становятся почти взаимоисключающими характеристиками.

Именно в этом случае точный количественный анализ СС-систем не имеет большого практического значения при решении реальных экономических, социальных, политических и других задач, сравнимых по сложности и связанных с участием одного человека или гоуппы людей. В данных случаях действует принцип: "Точность - это ложь".

Альтернативный подход состоит в том, что ключевыми элементами мышления являются не числа, а понятия, которые по своей сути являются нечёткими в силу индуктивности мышления человека.

Индукция - способ обнаружения закона для бесконечного числа данных по конечному числу данных. Однако подобное принципиально невозможно, следовательно, результат индуктивных выводов всегда нечёток, а логика размышления человека не является двузначной, а многозначной и даже может быть непрерывной.

Таким образом для радикального изменения работы слабоструктурированных и неструктурированных систем необходимы подходы, которые не фетишизируют такие понытия как точность, строгость, математический формализм, а используют методологические схемы, содержащие нечёткость и неполную истинность.

Язык нечётких множеств и алгоритмов в настоящее время наиболее адекватный математический аппарат, который позволяет максимально сократить переход от вербального словестного качественного описания объекта, которое характеризует человеческое мышление, к численным количественным оценкам его состояния и сформулировать на этой основе простые и эффективные алгоритмы, то есть позволяет моделировать человеческие размышления и человеческую способность решения задач.

Основные понятия и определения.Множество – (основоположник Хантор). Множество – многое мыслимое как единое.

Задавать множества можно перечислением {a_i}, где или путём указания некоторого свойства, например множество студентов, множество A и так далее.

Пусть X – это множество, а A – подмножество X, тогда x_i Î A. Характеристическая функция .

Пример:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {2, 4, 5}

m_A(2) = 1, m_A(4) = 1, m_A(5) = 1, а остальные = 0.

A = {0/1; 1/2; 0/3; 1/4; 1/5; 0/6}

Однако, как показала практика исследования подобный булевый принцип (Ï или Î) в подавляющем большинстве случаев не отвечает процессам, то есть приводит к неопределённой детализации математических процессов системы.

Нечётким множеством A^| на множестве X называется совокупность пар A^| = {m_A^|(x)/x}, где m_A^|: x ® [0, 1] – функция принадлежности; m_A(x) – степень принадлежности x нечёткому множеству A^|.

X^· – базовое множество той или иной предметной области.

Если X^· – непрерывное множество, то , ò - знак объединения.

Если X^· – дискретное множество, то

Интерпретации степени принадлежности являются согласно Заде субъективной мерой того, на сколько элемент x Î X, соответствует понятию, смысл которого формализация с нечётким множеством A^|.

Носитель A^|: Supprt (A^|) = {x|x Î X Ù m_A^|(x) > 0};

Ядро A^|: Core (A^|) = {x|x Î X Ù m_A^|(x) = 1}.

“разумное количество детей в семье” = {0.1/0; 0.3/1; 0.7/2; 1/3; 0.7/4; 0.3/5; 0.1/6}.

“скорость около 50 км/ч”.

m_A^|(x) = 1/1 + ((50 – x)/10)h;

“хорошая машина” = {0.3/Волга; 0.7/Москвич; 1/Жигули; 0.1/Ока}. Здесь X = {“Волга”, “Москвич”, “Ока”, “Жигули”}.

Sup m_A^|(x) = 1 (x Î X) – если это не выполняется, то множество субнормальное.

A^| Ì B^| Û m_A^|(x) < m_B^|(x), " x Î X$

A^| = B^| Û m_A^|(x) = m_B^|(x);

Интерпретацией значений m_A^|(x) может являться вероятность того, что ЛПР отнесёт элемент x ко множеству A^|.

Если A^| - нечёткое понятие, то m_A^|(x) – вероятность того, что ЛПР использует A^| в качестве имени объекта.

Алгебра нечётких множеств.Как и в обычной теории множеств, для нечётких множеств вводятся операции объединения, пересечения, дополнения.

Объединением A^| и B^| на множестве X (нечёткая дизъюнкция) называют ; .

Пересечением A^| и B^| на множестве X (нечёткая конъюнкция) называют ; .

Дополнение (отрицание):

Условия:

1. алгебра чётких множеств – частный случай операции;

2. функции принадлежности операции пересечения должны быть не больше, а функция принадлежности объединения не меньше, чем функция принадлежности каждому из множеств A^| и B^|.

3. Должны быть законы:

· A^| Ç B^| = B^| Ç A^|;

· A^| È B^| = B^| È A^|;

· Ассоциативность: A^| Ç (B^| Ç C^|) = (A^| Ç B^|) Ç C^|;

· Дистрибутивность:

A^| Ç (B^| È C^|) = (A^| Ç B^|) È (A^| Ç C^|);

A^| È (B^| Ç C^|) = (A^| È B^|) Ç (A^| È C^|);

· ù (ùA^|) = A^|;

· ù (A^| Ç B^|) = ùA^| È ùB^|;

· ù (A^| È B^|) = ùA^| Ç ùB^|;

Не выполняются законы:

· ù A Ç B = 0;

· ù A^| Ç B^| É 0;

Если интерпретация функции принадлежности вероятностная, то операции пересечения и объединения задаются по-другому.

;

.

Операция декартового произведения:

Пусть:

A^|1 » X₁

A^|2 » X₂, тогда ;

Пример:

X₁ = X₂ = 3 + 5 + 7;

A^|₁ = 0.5/3 + 1/5 + 0.6/7;

A^|₂ = 1/3 + 0.6/5 + 0/7;

A^|₁ x A^|₂ = 0.5/3.3 + 0.5/3.5 + ...

Возведение в степень: ;

e = 2 CON (A^|) = A^|2;

e = 0.5 DIL (A^|) = A^|0.5.

Расстояние между нечёткими множествами

Если A^| и B^| - нечёткие множества, то расстояние между ними определяется аксиомами:

(A^|,B^|) > 0;

p(A^|,A^|) = 0;

p(A^|,B^|) = p(B^|,A^|);

p(A^|,B^|) £ p(A^|,C^|) + p(C^|,B^|);

; ; ;

; ; .

Индексы нечёткости.При оценке нечёткости используется два подхода:

1. метрический: двусмысленность объекта x в отношении A, который проявляется в следующем – с одной стороны он принадлежит классу объектов, обладающих свойством A, с другой стороны принадлежит классу объектов, не обладающих свойством A.

- ; min, когда или 0.

Введём функционал d(A^|):

· d(A) = 0;

· d(A^|) " x ;

· B^| d(B^|) > d(A^|);

· d(A^|) = d(ùA^|).

Ближайшее чёткое множество к A^|, согласно Евклидову расстоянию, определяется с помощью характеристической функции:

Линейный индекс нечёткости: .

Квадратичный индекс нечёткости: .

2. энтропийный: ; ; ;

0 £ m £ 1

Нормировка:

; ;

; .

H максимальна, когда все элементы имеют одинаковую степень принадлежности, и минимальна, когда A^| - одноточечное множество. То есть зависит не от абсолютных значений, а от относительных.