Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в произведение.

1. Сумма синусов

2. Разность синусов

3. Сумма косинусов

4. Разность косинусов

5. Сумма тангенсов

6. Разность тангенсов

7. Сумма котангенсов

8. Разность котангенсов

1) Объясним первую формулу:

x + y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2

Она поучена из формул синуса сложения и разности аргументов:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α.

Сложим две формулы:

sin (α + β) + sin (α – β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β – sin β cos α = 2 sin α cos β.

Таким образом,

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β.

К этой формуле вернемся в конце наших вычислений.

Теперь введем новые переменные:

вместо α + β напишем х,

вместо α – β напишем у.

Тогда:

sin х + sin у = 2 sin α cos β.

В то же время, введя новую переменную, мы получили систему уравнений. Решим ее методом алгебраического сложения:

│α + β = х
│α – β = у

│α + β + α – β = х + у
│α + β – α + β = х – у

│2α = х + у
│2β = х – у

│ х + у
│α = ———
│ 2
│
│ х – у
│ β = ———
│ 2

Вернемся к полученной нами сумме двух формул сложения аргументов: sin х + sin у = 2 sin α cos β. Осталось подставить в них полученные значения α и β, чтобы в итоге получить нашу формулу:

x + y x – y
sin x + sin y = 2 sin ——— cos ———
2 2