Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Аппроксимация – приближение.

Разностная схема – совокупность разностных уравнений аппроксимирующих исходные дифференциальные уравнения. Используется для решения ДУ 1-го и 2-го порядка, а также уравнений в частных производных.

Метод прогонки – метод решения системы линейных уравнений с трех диагональной матрицей (не нулевые значения стоят по диагонали, под и над ней). Встречается в дифференциальных уравнениях 2-го порядка.

Решаем краевую задачу (граничные условия) (2.11) и (2.12). Заменяем дифференциальное уравнение разностной схемой, которая представляет собой линейную систему с трех диагональной матрицей. Метод прогонки используется в уравнениях мат. физики – заменяем, строим разностную схему с трех диагональной матрицей. Решение системы представляется в виде (2.14) и (2.15)

Рассмотрим систему линейных уравнений

Это система с трехдиагональной матрицей размерности .

Для решения систем такого вида используется метод исключения неизвестных, называемый методом прогонки.

Пусть имеет место соотношение

(2.13)

с неопределенными коэффициентами

Подставим в (2.10), получаем

Сравнивая это тождество с (2.13), находим

(2.14)

(2.15)

Из (2.13) при i = 0 и (2.11) получаем

(2.16)

Зная и переходя от i к i+1 в формулах (2.14) и (2.15) можно определить для . Вычисление по формуле (2.13) ведутся путем перехода от i+1 к i (т.е. зная можно найти ) и для начала этих вычислений необходимо знать . Определим из (2.12) и (2.13) при i = n-1

(2.17)

Т.о., решение системы (2.10) – (2.12) методом прогонки, осуществляется по следующим формулам: Прямой ход:

Обратный ход: