Субтрактивная цветовая модель CMYK

CMYK (cyan, magenta, yellow, black) - используется для полиграфической продукции. Цвет каждой точки имеет голубую, розовую, желтую и черную составляющие. Обычно значение каждой составляющей указывают в процентах от 0 до 100. Голубой, розовый и желтый цвета называются субтрактивными, поскольку в основе этой цветовой схеме лежит способность красок на бумаге поглощать часть спектра, и смешение всех компонент с максимальной интенсивностью теоретически дает черный цвет. Однако абсолютно чистые краски получить очень трудно, поэтому в эту схему добавлена черная составляющая.

Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы/Вероятность и статистика

Селякова С.В.

Основные понятия и определения теории вероятностей. Законы распределения случайной величины. Характеристики случайной величины.

Любая точная изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними. При этом для построения математической модели во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности, которые позволяют предвидеть результат опыта (наблюдения, эксперимента) по его заданным начальным условиям.

Однако есть множество задач, для решения которых надо учитывать и случайные факторы, придающие исходу опыта элемент неопределенности.

ПРИМЕР: Невозможно предсказать, какая сторона выпадет при бросании монеты. Сколько лет проживет родившийся ребенок.

Такие задачи, исход которых нельзя предсказать с полной уверенностью, требует изучение не только основных закономерностей, но и случайных факторов (статистических закономерностей).

Определение. Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы.

Определение. Предметом теории вероятностей является математические модели случайных явлений.

Определение. Цель теории вероятностей – осуществление прогноза в области случайных явлений, влияние на ход этих явлений, контроль и ограничение сферы влияния случайности.

Определение. Событием (случайным событием) называется всякий факт (исход опыта), который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет наверняка (достоверное), другое - никогда (невозможное).

Определений вероятностей существует несколько (классическое, статистическое, геометрическое, асимптотическое).

Определение. Случайной величинойназывается величина, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

ПРИМЕР: Число очков, появляющихся при бросании игральной кости, число выстрелов до первого попадания в цель, время безотказной работы прибора, рост человека, курс доллара и т.д.

Определение. Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной (принимает отдельные изолированные друг от друга значения).

Определение. Если же множество значений случайной величины несчетно, то такая случайная величина называется непрерывной (принимает любые значения из некоторого промежутка).

ПРИМЕР: Число очков, появляющихся при бросании игральной кости, число выстрелов до первого попадания в цель – дискретные С.В.,

время безотказной работы прибора, рост человека, курс доллара и т.д. – непрерывные.

Определение.Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий, в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (распределением).

Закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать с помощью:

- формулы , определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. примет значение .

- таблицы распределения (ряд распределения)

			…
			…

- многоугольника распределения (графически)

Непрерывные С.В. можно представить с помощью:

- Функции распределения ( )

- Плотности распределения ( )

Основные законы распределения С.В.

1. Биномиальный закон распределения

2. Распределение Пуассона

3. Геометрическое распределение

4. Равномерный закон распределения

5. Показательный закон распределения

6. Нормальный закон распределения

Характеристики С.В.:

Определение. Математическое ожидание, дисперсия, моменты, мода, медиана.

Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной С.В. называется сумма произведений всех значений С.В. на их вероятности.

Математическое ожидание непрерывной С.В. определяется равенством

Дисперсия С.В. есть рассеяние С.В. вокруг ее математического ожидания.

Дисперсией дискретной С.В. называют математическое ожидание квадрата отклонения С.В. от ее математического ожидания. .

Дисперсия непрерывной С.В. определяется равенством

Средним квадратическим отклонением С.В. называют .

Начальным моментом порядка С.В. Xназывают математическое ожидание величины .

в частности, начальный момент 1-го порядка - .

Центральным моментом порядка С.В. Xназывают математическое ожидание величины . В частности, центральный момент 1-го порядка равен нулю, 2-го порядка равен дисперсии.

Модой дискретной С.В. Xназывается значение С.В., обладающее наибольшей вероятностью.

Модой непрерывной С.В. Xназывается ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности вероятности.

Медианой С.В. X называют ее возможное значение, которое определяется равенством:

Если дана система С.В., то важными характеристиками системы являются корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент – центральный момент

Коэффициентом корреляции называют :

Коеффициент корреляции определяет зависимость между С.В.

-направление: если коэффициент корреляции , то направление связи положительное (с возрастанием одной С.В. другая имеет тенденцию возрастать). Если коэффициент корреляции , то направление связи – отрицательное (с возрастанием одной С.В. другая имеет тенденцию убывать).

-теснота: если модуль коэффициента корреляции , то связь будет тесной (т.е. если одна С.В. даже несущественно изменяется - другая С.В. тоже меняет свое значение). Если коэффициента корреляции , то связь будет не тесной. (т.е. изменение одной С.В. будет при значительном изменении другой С.В.)

Если коэффициент корреляции , то С.В. Xи Yбудут независимыми. Т.е. значения которые принимает одна С.В. не влияют на то, какие значения будет принимать другая.

Основные понятия и определения математической статистики. Типичные задачи математической статистики. Проверка правдоподобия гипотез.

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий) по результатам наблюдений. Для получения опытных данных необходимо провести обследование соответствующих объектов.

ПРИМЕР: Если интересует вероятность того, что диаметр валика после шлифовки окажется в пределах технического допуска, то необходимо знать закон распределения этого диаметра, а для этого необходимо располагать набором возможных значений диаметра. Однако обследовать все валики – трудно, поскольку количество велико. Поэтому приходится отбирать только часть совокупности объектов (валиков) и производить выборочное обследование.

Все задачи математической статистики касаются вопросов обработки наблюдений над массовыми явлениями. Типичные задачи: