Проверка правдоподобия гипотез.

Задача состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или опровергнуто некоторое предположение (гипотеза) относительно генеральной совокупности.

ПРИМЕР: если новое лекарство помогло 150 людям, можно ли сказать, что оно поможет всем людям с таким заболеванием.

Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез.

Задачи статистической проверки гипотез ставятся в следующем виде: относительно некоторой генеральной совокупности высказывается та или иная гипотеза H. Из этой ген.совокупности извлекается выборка. Требуется указать правило, при помощи которого можно было бы по выборке решить вопрос о том, следует ли отклонить гипотезу H или принять ее. Следует отметить, что статистическими методами можно только опровергнуть или не опровергнуть гипотезу, но не доказать.

Под статистической гипотезой (гипотезой) понимается всякое высказывание (предположение) о ген.совокупности, проверяемое по выборке.

Статистические гипотезы делятся на:

· Гипотезы о параметрах распределения известного вида (параметрические)

· Гипотезы о параметрах неизвестного распределения (непараметрические)

Одну гипотезу выделяют в качестве основной (нулевой) - , а другую – отрицание (противоположную) – конкурирующей (альтернативной) .

Имея две гипотезы необходимо на основе выборки принять либо , либо .

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу называется статистическим критерием проверки гипотезы .

Основной принцип: множество возможных значений статистики разбивается на 2 непересекающихся подмножества:

· Критическую область - область отклонения гипотезы

· Область принятия этой гипотезы.

Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия, вычисленное по выборке, попадает в область , то - отклоняется, если попадает - то нет оснований отклонять гипотезу.

При проверке гипотезы может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки:

1. Ошибка 1-го рода: отвергается нулевая гипотеза, когда на самом деле она верна.

2. Ошибка 2-го рода: отвергается альтернативная гипотеза, когда на самом деле она верна.

Вероятность ошибки 1-го рода называется уровнем значимости критерия , задается заранее. Чем меньше , тем вероятность отклонить верную гипотезу.

Вероятность ошибки 2-го рода – величина .

Величину называют мощностью критерия. Чем больше мощность, тем вероятность ошибки 2-го рода меньше.

Методика проверки:

1. Располагая выборкой формируют нулевую гипотезу (например: Гипотезу о числовом значении математического ожидания нормального распределения при известной / неизвестной дисперсии, о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений с известными /неизвестными дисперсиями, гипотеза проверки закона распределения и т.д.).

2. В каждом конкретном случае подбирают статистику критерия обычно из:

Нормальное распределение

· - распределение

· t – распределение Стьюдента

· F – распределение Фишера - Снедекора

3. По статистике критерия и уровню значимости определяют критическую область. Для ее отыскания достаточно определить критическую точку (квантиль).

Границы областей определяются из соотношений:

· для правосторонней критической области

· для левосторонней критической области

· для двусторонней критической области

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым находят критическую точку.

4. Для полученной выборки подсчитывают значение критерия (Числовое)

5. Если (например, для правосторонней области), то нулевую гипотезу отвергают. Иначе, нет оснований отвергать гипотезу.