Модель с использованием Марковских процессов.

Модель задается в виде состояний, в которых система может находиться, и возможных переходов из одного состояния в другое. При представлении ИС при помощи данной модели используется теория марковских процессов в том случае, если нахождение системы не зависит от того, в каком состоянии находилась ИС в прошлом.

Вероятностный граф состояний системы имеет следующие состояния: (1) работают оба элемента системы, (2) отказ одного из элементов, (3) отказ двух элементов.

Если заданы вероятности перехода системы из состояния i в состояние j β_ij , то можно определить вероятности нахождения системы в i-том состоянии P_i(t), а значит и показатели надежности, составляя и решая уравнение Колморогова-Смирнова .

Производная от вероятности нахождения системы в i-том состоянии равна алгебраической сумме произведений интенсивностей перехода на вероятности соответствующих состояний. Тем произведениям, которым соответствуют уходящие из данного состояния стрелки, приписывают знак «-», а входящим - знак «+».

Таким образом, для данного примера системы имеем систему уравнений:

решив (2.1), определим вероятности нахождения системы в i-м состоянии P_i(t). Функция вероятности безотказной работы системы в данном случае равна вероятности нахождения системы в 1-ом состоянии:

Система показателей надежности: показатели безотказности, сохраняемости, ремонтопригодности, долговечности.

Надежность системы- свойство системы выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в заданных пределах в течение требуемого промежутка времени или требуемой наработки (согласно ГОСТу 27.002-89).

Исправное состояние - состояние, при котором система обладает полным набором свойств и выполняет все заданные функции с параметрами, установленными в технической документации.

Работоспособность - состояние, при котором система выполняет все заданные функции с параметрами, установленными требованиями технической документации, но с отсутствием некоторых несущественных для нормального функционирования свойств.

Отказ - событие, которое заключается в нарушении работоспособности. Следует отметить, что под отказом надо понимать не только полное нарушение работоспособности, но и выход параметров изделия за границы, установленные требованиями технической документации. Значит, после отказа система либо полностью прекращает свою работу, либо продолжает функционировать с пониженным качеством.

Надежность является комплексным свойством системы и включает в себя еще четыре свойства

1. Безотказность - свойство системы не утрачивать работоспособность в течение заданной наработки без перерывов.

2. Долговечность - свойство системы сохранять работоспособность до предельного состояния (до списания) с перерывами на техническое обслуживание и ремонт.

3. Ремонтопригодность - свойство системы обнаруживать, устранять и предупреждать неисправность и отказы путем проведения технического обслуживания и ремонта.

4. Сохраняемость - свойство системы сберегать свои эксплуатационные показатели в течение и после срока транспортирования или хранения на складе.

В качестве единиц измерения применяются:

- для безотказности - непрерывное время безотказной работы системы (наработка на отказ);

- для долговечности - время от момента изготовления системы до предельного состояния или списания (срок службы);

- для ремонтопригодности - время восстановления работоспособности;

- для сохраняемости - случайное время сохранения работоспособности в состоянии хранения.

Эти СВ позволяют колич-но оценить св-ва надежности путем применения матем-го аппарата теории вероятностей и статистики. Полной хар-кой любой СВ является закон ее распределения, используемый в двух видах: как функция распределения (интегральный закон) и как плотность распределения (дифференциальный закон).

Функцией распределения называется функция F(t), определяющая вероятность того, что случайная величина Т примет значение, меньшее заданной величины t, т.е.: F(t) = P{T<t}.

Плотностью распределения f(t) = dF(t)/dt.

В теории надежности широко используются еще две функции: обратная функция распределения

интенсивность

Показатели безотказности не восст-мых @В качестве случайной величины Т примем наработку до отказа. Считаем, что нам известна функция распределения F(t) , которая в данном случае будет называться функцией вероятности отказа Q(t), то есть (fн-плотность распределения наработки на отказ),ф-ия вероятности безотказной работы в течение заданного времени t Интенсивность отказа :

Показатели безотказности восст-ых @ Восст-мые @ имеют поток отказов и периодически подвергаются тех.обслуживанию и ремонту.

где ti-i-ая наработка на отказ; ti- i-ое время восстан-я после i-го отказа. СВ длительности безотказной работы м/д соседними периодами восст-я @ можно хар-ть функцией распределения длительности безотказной работы м/д окончанием восст-я после (i-1)-го отказа и моментом настепления i-го отказа F_i(t). Тогда показатель Q_i(t)= F_i(t) – вер-ть наступления отказа @ за промежуток времени t после окончания (i-1)-го восстан-я.Вер-ть безотказной работы с момента окончания (i-1)-го восст-я за период t: P_i(t)=1- Q_i(t). Средняя наработка на отказ от момента окончания (i-1)-го восстан-я до наступления i-го отказа:

Показатели сохраняемости

Определение свойств сохраняемости аналогично определению свойств безотказности с тем лишь различием, что они относятся к разным условиям, свойство безотказности характеризует рабочие эксплуатационные условия, а свойство сохраняемости- нерабочие условия {хранение и транспортировка). Показатели сохраняемости аналогичны показателям безотказности. вычислять их нужно через законы распределения длительности безотказного хранения f_xp(t)-плотность и F_xp(t)-ф-ия распределения.

Срок сохраняемости - календарная продолжительность хранения или транспортировки изделия, в течение и после которой сохраняются значения показателей безотказности, долговечности и ремонтопригодности в установленных пределах.

Из всего множества показателей сохраняемости наиболее часто в технической документации используют только два: средний срок сохраняемости и гамма-процентный срок сохраняемости,

Средний срок сохраняемости- математическое ожидание случайной величины хранения до отказа: Гамма-процентный срок сохраняемости –срок, кот. соответствует вер-ть нахождения в исправном состоянии: Рекомендуются значения у= 90; 95 и 98%.

Показатели ремонтопригодности ф-ция распределения - длительность восст. Для хар-ки свойства ремонтопригодности применяют: - интенсивность восстановления

-среднее время восст-ия: ;-вероятность восст-я в заданное время:

Показатели долговечности – Ресур с- наработка до списания, выраженная во временных единицах измерения без учётов простоев . Срок службы – календ. продолжительность службы объекта до его списания. Ср. срок службы – Т_сл = ⌠ f_сл(τ)d τ.

Проектирование АСОИУ/Проектирование ИС